Matematik

Bestem de b, hvor rækken er konvergent

21. maj kl. 16:36 af K22 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. I a) er jeg kommet frem til, at rækken er konvergent for alle b i de reelle tal og i b) er jeg kommet frem til, at den er konvergent for alle a, b i de reelle tal. Jeg har en følelse af, at det ikke helt er rigtigt. Er der nogen, der kan komme med nogle hints eller en alternativ forklaring til, hvordan opgaven skal forstås?


Brugbart svar (1)

Svar #1
21. maj kl. 16:49 af Mathias7878

Nu er jeg ikke lige den bedste til analyse, men jeg kan ikke se, hvorfor din a) skulle være rigtig. Hvis a = 0 så gælder der, at an + b = b og det er et kendt resultat, at 

  \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^p}

er konvergent for alle p > 1. Så jeg tænker, at svaret til a) er b < -1. 

- - -

 

 


Svar #2
21. maj kl. 17:04 af K22

Så når a =0, så får man det kendte resultat?


Brugbart svar (0)

Svar #3
21. maj kl. 17:16 af peter lind


Brugbart svar (1)

Svar #4
21. maj kl. 17:20 af Mathias7878

#2 nej, men man kan se, at når a = 0, så gælder, at an + b = b og så har man, at

\sum_{n = 1}^\infty n^b

og så kan man bruge det jeg skriver, altså at 

\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^p}

er kendt konvergent (det er et velkendt resultat, som nok også står i din analyse bog) for p > 1. I dit tilfælde svarer det til at b < - 1. 

- - -

 

 


Brugbart svar (1)

Svar #5
21. maj kl. 17:26 af peter lind

a) b<-1  da det vides at a/np er konvergent for p>1

b) an+b ska være mindre end -1 for alle store n og det bliver den kun for a<-1


Svar #6
21. maj kl. 17:44 af K22

Hvad skal der gælde om b i delopgave b)? Og når du skriver "store n" mener du så de naturlige tal?


Brugbart svar (1)

Svar #7
21. maj kl. 18:02 af peter lind

 b bliver her ligegyldig da an+b < -1 er opfyldt for a<-1 blot hvis n er tilstrækkelig stor. n er et naturligt tal


Brugbart svar (0)

Svar #8
23. maj kl. 22:12 af AskTheAfghan

#6     Hvis a < -1, vil an + b → -∞ for n → ∞, uanset hvad b er. Pr. definition af grænseværdier, vil an+b < -1 for tilstrækkeligt stort naturligt tal n (hvilket vil sige, at der findes et naturligt N sådan at an+b < -1 for alle n≥N.)


Svar #9
24. maj kl. 09:31 af K22

#8 Hvordan kan det være ligegyldigt hvad b er? Hvad hvis b = 0? Så giver det jo ikke mening?


Svar #10
24. maj kl. 10:00 af K22

Eller b = 5?


Brugbart svar (0)

Svar #11
24. maj kl. 13:25 af peter lind

an+b -> -∞ for n -> ∞ når a<-1. Det vil sige at for et eller andet N > n0 er an +¨b <-1


Brugbart svar (1)

Svar #12
24. maj kl. 14:09 af AskTheAfghan

#9     Først og fremmest, forudsættes der i delopgaven (b), at a er forskelligt fra 0 (for, hvis a var lig med 0, har man jo svaret på det jf. delopgaven (a)). Man kan omskrive leddene nan+b til 1/n-(an+b), så rækken vil fremstå som en p-række i forklædning. Man skal derfor sørge for, at -(an+b) skal være >1 (eller, ækvivalent, an+b < -1), når n er tilstrækkeligt stort. Hvordan er det lige man gør? Det, du først kan gøre, er at undersøge, hvad a og b skal være, for at an+b går mod -∞ når n → ∞. Når du har fået undersøgt det, kan vi snakke om, hvad man så skal gøre efter. 


Svar #13
24. maj kl. 18:50 af K22

Så skal a være mindre end -1 og b skal være mindre end eller lig 0 for, at den er konvergent?


Brugbart svar (0)

Svar #14
24. maj kl. 20:54 af AskTheAfghan

#13     Hvad er det helt præcis, "den" er konvergent? Mit spørgsmål var, hvad a og b skal være, for at an+b →  -∞ når n → ∞, ikke andet. 


Skriv et svar til: Bestem de b, hvor rækken er konvergent

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.