Matematik

Funktioner, lige, ulige

14. juni kl. 22:36 af K22 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Jeg kunne godt bruge noget hjælp til disse opgaver. På forhånd tak.


Brugbart svar (1)

Svar #1
16. juni kl. 18:03 af AskTheAfghan

(a) Du skal bestemme en stykkevist kontinuert og normaliseret funktion h på [−π, π], sådan at h = h0 på (−π, π)\{0}.


Svar #2
16. juni kl. 22:15 af K22

Kan du uddybe? Er helt fortabt i det her:(


Brugbart svar (0)

Svar #3
17. juni kl. 14:18 af Soeffi

#0. 


Svar #4
20. juni kl. 21:52 af K22

Kan det passe, at jeg skal løse følgende integral i b)? Hvis det er rigtigt, hvad skal jeg så sætte ind på h(x)'s plads? Jeg har lavet delopgave a).


Brugbart svar (0)

Svar #5
20. juni kl. 23:02 af Soeffi

#4. Indsætter billede...


Brugbart svar (0)

Svar #6
22. juni kl. 10:05 af Jeppe101


Brugbart svar (0)

Svar #7
22. juni kl. 12:01 af Soeffi

#0. Du ved vel ikke hvad PCN_{2\pi} betyder?


Brugbart svar (0)

Svar #8
22. juni kl. 12:33 af Soeffi

#4... Jeg har lavet delopgave a).

Må jeg spørge, hvad du fik?


Svar #9
22. juni kl. 21:40 af K22

Jeg fik en stykvis funktion. Det tager desværre lang tid at sætte det hele ind i indlægget, men det er heller ikke den opgave, jeg har brug for hjælp til.

Brugbart svar (0)

Svar #10
22. juni kl. 23:32 af Soeffi

#9. Jo, men vi er nød til at kende h(x) for at kunne beregne Fourier-koefficienterne, og det kan vi ikke, da ingen ved, hvad der menes med PCN!


Brugbart svar (0)

Svar #11
23. juni kl. 12:12 af Soeffi

#0. Lad os sige, at du ønsker at bestemme...

\frac{1}{2\pi }\cdot \int_{-\pi}^{\pi}e^{i\cdot x/2} \cdot e^{-i\cdot n\cdot x}\;dx 

Teknikken er ikke særlig svær. Du får:

\frac{1}{2\pi }\cdot \int_{-\pi}^{\pi}e^{i\cdot x/2} \cdot e^{-i\cdot n\cdot x}\;dx=\frac{1}{2\pi }\cdot \int_{-\pi}^{\pi}e^{i\cdot x/2-i\cdot n\cdot x}\;dx=\frac{1}{2\pi }\cdot \int_{-\pi}^{\pi}e^{i\cdot x(1/2-n)}\;dx=

\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{1}{i\cdot (1/2-n)} \left [ e^{i\cdot x\cdot (1/2-n)} \right ]_{-\pi}^{\pi}=\frac{i}{2\pi(n-1/2)} \left [ e^{i\cdot \pi\cdot (1/2-n)} -e^{-i\cdot \pi\cdot (1/2-n)} \right ]=

\frac{i}{2\pi(n-1/2)} \left [ 2\cdot i\cdot sin(\frac{\pi}{2}-n\cdot \pi ) \right ]=

\frac{ -1}{\pi(n-1/2)} \left [sin(\frac{\pi}{2}-n\cdot \pi ) \right ]=

\frac{ -1}{\pi(n-1/2)} \cdot (-1)^n=\frac{ (-1)^{n+1}}{\pi(n-1/2)}


Brugbart svar (0)

Svar #12
23. juni kl. 14:49 af Soeffi

#11. En anden teknik:...

e^{i\cdot \pi\cdot (1/2-n)} -e^{-i\cdot \pi\cdot (1/2-n)} =

e^{i\cdot \pi/2} \cdot (e^{-i\cdot \pi})^n -e^{-i\cdot \pi/2} \cdot (e^{i\cdot \pi})^n=

\\(cos(\pi/2)+i\cdot sin(\pi/2)) \cdot (cos(-\pi)+i\cdot sin(-\pi))^n -

    (cos(-\pi/2)+i\cdot sin(-\pi/2)) \cdot (cos(\pi)+i\cdot sin(\pi))^n=

\\(0+i\cdot 1) \cdot (-1+i\cdot 0)^n -(0+i\cdot (-1)) \cdot (-1+i\cdot 0)^n=

i \cdot (-1)^n -(i\cdot (-1)) \cdot (-1)^n=

i \cdot (-1)^n +i \cdot (-1)^n=

2\cdot i\cdot (-1)^n


Svar #13
24. juni kl. 08:33 af K22

Dette er h(x). Hvordan skal jeg så lave b)?


Brugbart svar (0)

Svar #14
24. juni kl. 15:53 af Soeffi

#13...Jeg tror, at du mener:

h(x)=\left\{\begin{matrix} e^{i\cdot x/2}\;\;\;-\pi<x<0 \\ \frac{i+1}{2}\;\;\;\;\;\;\;x=0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\ i e^{i\cdot x/2}\;\;\;\;0<x<\pi\;\;\; \\ \frac{i-1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;x=\{-\pi ,\pi \} \end{matrix} \right.

Du har at...

c_n(h)=\frac{1}{2\pi }\cdot \int_{-\pi}^{\pi}h(x) \cdot e^{-i\cdot n\cdot x}\;dx=

dette deles op...

\frac{1}{2\pi }\cdot \int_{-\pi}^{0}e^{ix/2} \cdot e^{-i n x}\;dx+\frac{1}{2\pi }\cdot \int_{0}^{\pi}ie^{ix/2} \cdot e^{-i n x}\;dx=

eksponenter trækkes sammen...

\frac{1}{2\pi }\cdot \int_{-\pi}^{0}e^{i(1/2- n )\cdot x} \;dx+\frac{i}{2\pi }\cdot \int_{0}^{\pi}e^{i(1/2-n )\cdot x} \;dx=

man finder stamfunktionen og indsætter grænser...

\frac{1}{2\pi }\cdot \left [ \frac{e^{i(1/2- n )\cdot 0}-e^{i(1/2- n )\cdot (-\pi)}}{i(1/2- n ) } \right ]+\frac{i}{2\pi }\cdot \left [ \frac{e^{i(1/2- n )\cdot \pi}-e^{i(1/2- n )\cdot 0}}{i(1/2- n ) } \right ]=

fælles faktorer sættes udenfor...

\frac{1}{2\pi \cdot i(1/2- n ) }\cdot \left ( 1-e^{-i(1/2- n )\cdot \pi} +i\cdot \left [ e^{i(1/2- n )\cdot \pi}-1 \right ] \right )=

omskriv eksponentialfunktioner til produktform...

\frac{1}{2\pi \cdot i(1/2- n ) }\cdot \left (1-e^{-i\pi/2}\cdot (e^{i\pi})^n +i\cdot \left [ e^{i\pi/2}\cdot (e^{-i\pi})^n-1 \right ] \right )=

indsæt Eulers formel...

\frac{1}{2\pi \cdot i(1/2- n ) }\cdot \left (1-i\cdot sin(-\pi/2)\cdot (cos(\pi))^n +i\cdot \left [ i\cdot sin(\pi/2)\cdot (cos(-\pi))^n-1 \right ] \right )=

indsæt værdier af trigonomiske funktioner...

\frac{1}{2\pi \cdot i(1/2- n ) }\cdot \left (1- (-1)^n+i\cdot ((-1)^n -1) \right )=

gang tæller og nævner med i...

\frac{1}{2\pi \cdot (1/2- n ) }\cdot \left ( (-1)^n -1+i((-1)^n -1) \right )


Brugbart svar (0)

Svar #15
25. juni kl. 12:11 af Soeffi

#14. Dvs....

a)\;h(x)=\left\{\begin{matrix} e^{i\cdot x/2}\;\;\;-\pi<x<0 \\ \frac{i+1}{2}\;\;\;\;\;\;\;x=0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\ i e^{i\cdot x/2}\;\;\;\;0<x<\pi\;\;\; \\ \frac{i-1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;x=\{-\pi ,\pi \} \end{matrix} \right.

b)\;c_n(h)=\frac{1}{2\pi \cdot (1/2- n ) }\cdot \left ( (-1)^n -1+i((-1)^n -1) \right )

      Hvoraf følger:

      c_n(h)=\frac{1}{2\pi \cdot (1/2- n ) }\cdot\left\{\begin{matrix} (-1)^1 -1+i((-1)^1 -1) \;\;n \;ulige\; \\ (-1)^2 -1+i((-1)^2 -1) \;\;n \;lige \;\;\; \end{matrix} \right. \Rightarrow

      c_n(h)=\frac{1}{(-2)\cdot \pi \cdot (n-1/2) }\cdot\left\{\begin{matrix} (-2)\cdot (1+i)\;\;n \;ulige \\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n \;lige \; \end{matrix} \right. \Rightarrow

      c_n(h)=\left\{\begin{matrix} \frac{ 1+i}{\pi \cdot (n-1/2 ) }\;\;\;n \;ulige \\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n \;lige \;\; \end{matrix} \right.


Skriv et svar til: Funktioner, lige, ulige

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.