Matematik

Trekanter, Ny Sigma 8, Opgave 9060, Side 236, (Henry Schultz, Knud Leth, Johan Jacobsen)

31. juli kl. 14:45 af ca10 - Niveau: 8. klasse

Tegn trekanter med følgende sidelængder i cm:

a) 7 , 6, 5

b) 4, 4, 4

c) 6, 4, 6

d) 8, 5, 3

e) 7, 2, 4,

f) 5, 6, 13

Opgaveteksten er følgende:

Er der bestemte betingelser, som gælder for sidelængderne, hvis man skal kunne en trekant ?

Jeg har med de oplyste sidelængder tegnet trekanter og jeg kan oplyse at med sidelængderne i a), b), og c) kan man tegne trekanter, men med sidelængderne i d) e) og f) kan man ikke tegne trekanter.

Så mit spørgsmål er, hvordan bestemmer man hvilke betingelser som gælder for sidelængderne for at man kan tegne en trekant.

Facitlisten giver ikke noget svar på dette spørgsmål

På forhånd tak


Brugbart svar (1)

Svar #1
31. juli kl. 14:52 af StoreNord

Hver af siderne skal være kortere end summen af de to andre sider.

Og der er også noget med differensen


Brugbart svar (0)

Svar #2
31. juli kl. 15:05 af StoreNord

Der er også noget med differensen. se:
https://da.go-homework.com/85145-the-lengths-of-two-sides-of-a-triangle-are-6-and-13-which-can-be-the-length-of-t-20


Svar #3
31. juli kl. 16:11 af ca10

Tak for dit svar og jeg har afprøvet dit svar:

a) 7 + 6 = 13,    5<13  (5)  Ja,   Betingelse opfyldt       

    7 + 5 = 12 ,   6<12  (6)  Ja,   Betingelse opfyldt

    6 +  5 = 11,   7<11   (7)  Ja,   Betingelse opfyldt

Man kan tegne en trekant.

b)  4 + 4  = 8,      4<8    (4) Ja,   Betingelse opfyldt       

Man kan tegne en trekant

c)  6 + 4 = 10,    6<10   (6) Ja,    Betingelse opfyldt         

     4 + 6 = 10     6<10   (6) Ja,    Betingelse opfyldt

Man kan tegne en trekant

d) 8 + 5 = 13,      3<13   (3) Ja,   Betingelse opfyldt 

    8 + 3 = 11,      5<11    (5) Ja,   Betingelse opfyldt

    5 + 3 =   8,      8= 8     (8) Nej, Betingelse ikke opfyldt       

Man kan ikke tegne en trekant

e) 7 + 2 =   9,      4<9      (4) Ja,   Betingelse opfyldt

     7 + 4 = 11,      2<11    (2) Ja,  Betingelse  opfyldt

     2 + 4 =   6,      7>6     (7) Ne,j Betingelse ikke opfyldt

Man kan ikke tegne en trekant

f)  5 + 6  =  11,  13>11     13) Nej, Betingelse ikke opfyldt

    5 + 13 = 18,   6<18      (6)  Ja,  Betingelse opfyldt

    6 + 13 = 19,   5<19      5)   Ja,  Betingelse opfyldt

Man kan ikke tegne trekant

Du skriver "Hver af siderne skal være kortere end summen af de to andre sider".

I a), b) og c) er hver af siderne kortere end summen af de to andre sider.

I d) er den ene side lig summen af de to andre sider

I e) og f) er der to sider der hver for sig er kortere end summen af de to andr sider, men der er en side der er større end summen af de to andre sider.

Det  ser ud som om, at betingelserne for at kunne tegne en trekant er, at godt nok skal alle tre sider hver for sig  være kortere end summen af de to andre sider for at opfylde betingelserne.

Men det ser også ud som at der, kan være to sider, der hver for sig er kortere end summen af de to andre sider, men hvis der er en side der er lig med eller større end summen af de to andre sider, kan man ikke tegne en trekant.


Brugbart svar (1)

Svar #4
31. juli kl. 18:49 af SuneChr

Vi kan indse rigtigheden af trekantsuligheden, som den er formuleret i # 1:

Når vi konstruerer en trekant med alle tre sider givne, tegner vi først et linjestykke, som regel trekantens længste side. Dernæst udmåler vi en af de to andre sider i passeren og afsætter en bue med et af linje-
stykkets endepunkter som centrum. Til sidst gør vi det samme med trekantens sidste side.
Det må herefter være klart, at summen af de to afstande vi får i passeren skal være større end det første
linjestykke, for at de to buer kan skære hinanden. Kan buerne ikke skære hinanden, kan trekanten ikke
konstrueres.


Svar #5
01. august kl. 10:48 af ca10

Som jeg kan se af svarene på mit spørgsmål er betingelsen, der skal være opfyldt for at man kan tegne en trekant:

Hver af siderne skal være kortere end summen af de to andre sider 

Det kan man dels se ved at prøve at tegne trekanten ud fra de opgivne sidelængder (hvor de to buer man tegner med passeren skærer hinanden), og dels ved at regne om summen af de to afstande er større end det største linjestykke.

Men kan det matematisk bevises at betingelsen for at kunne tegne en trekant, så skal hver af siderne være kortere end summen af de to andre sider.


Brugbart svar (1)

Svar #6
01. august kl. 16:03 af Capion1

Lad os for ΔABC vise, at |AC| < |AB| + |BC| .
Forlæng AB til D således at |BD| = |BC| .
ΔDBC er ligebenet.
Betragt nu ΔADC hvor vi ser, at ACD > BCD, men BDC = BCD og ACD > BDC .
Der gælder grundlæggende, at overfor en større vinkel ligger en større side.
Så vi får  |AD| > |AC|  eller da |AD| = |AB| + |BC| følger  |AB| + |BC| > |AC| .


Brugbart svar (1)

Svar #7
01. august kl. 17:52 af SuneChr

... og som supplement til # 6 og #1: "Og der er også noget med differensen" :
              Enhver side i en trekant er større end forskellen mellem de to andre.
For nemheds skyld, kald siderne a, b og c hvor b > c.
Vi viser, at  a > b - c :
Man har iflg. # 6  a + c > b  ⇒  a > b - c .
 


Brugbart svar (1)

Svar #8
03. august kl. 09:40 af mathon

Kort:

            Trekantsulighederne:
                                                    \begin{array}{lllll} \left |b-c \right |<a<b+c\\\\ \left |a-c \right |<b<a+c\\\\ \left | a-b \right |<c<a+b \end{array}


Skriv et svar til: Trekanter, Ny Sigma 8, Opgave 9060, Side 236, (Henry Schultz, Knud Leth, Johan Jacobsen)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.