Matematik

Betydning af begrebet vinkelhastighed

19. august 2021 af Quarr - Niveau: 10. klasse

Hej, kan I forklare mig hvad vinkelhastighed er når der er tale om en harmonisk svingning?

Jeg ved godt at hvis vinkelhastigheden er stor så er frekvensen høj og dermed er svingningstiden kortere.

Der gælder:

$T=\frac{1}{f}$

$\omega =2\cdot \pi f$

Synes især at begrebet forvirrer mig når definitionen af vinkelhastighed ligner frekvensens definition.

Brugbart svar (1)

Svar #1
19. august 2021 af SuneChr

Da T = 1/f er f = 1/T
Indsæt 1/T i stedet for f i den anden ligning.
Da får vi en enhedscirkels omkreds divideret med tiden, altså et mål for vinkelhastigheden ω .
360º = 2π rad

Brugbart svar (1)

Svar #2
19. august 2021 af Eksperimentalfysikeren

En cirkelbevægelse kan skrives som (r cos(ωt),r sin(ωt)). Tilsvarende skrives en svingning som r sin(ωt). Man kan angive rotationshastigheden for cirkelbevægelsen i omdrejninger pr sekund, hvilket svarer til svingningens frekvens. I begge tilfælde gælder ω = 2π f. For cirkelbevægelsen kalder man ω for vinkelhastigheden. Samme betegnelse benyttes helt analogt til svingningen, dog benyttes for svingningen også betegnelsen vinkelfrekvensen. Man kan opfatte svingningen som en projektion på y-aksen af en cirkelbevægelse. Derfor de store ligheder i betegnelserne.

Brugbart svar (1)

Svar #3
19. august 2021 af Sveppalyf

En harmonisk svingning er jo sådan en cyklus der bliver gentaget igen og igen. Det er naturligt at beskrive dette med en sinusfunktion (da den også gentager sigselv):

f(t) = sin(t)

Indmaden i en sinusfunktion skal imidlertid have enheden radianer, så vi sætter en omregningsfaktor ω på:

f(t) = sin(ωt)

Vi skal så have konstrueret ω således at når svingningen har gennemløbet én cyklus (t = T), så skal ωt vokse med 2π radianer (én omgang på enhedscirklen). Så passer det nemlig med at sinusfunktionen også har gennemløbet sin cyklus. Derfor sætter man ω = 2π/T.

Så hvis du har et eller andet som svinger med en bestemt hastighed, så kan du forstå vinkelhastigheden som hvor mange radianer pr. sekund dette svarer til i den tilhørende sinusfunktion. Hvis vinkelhastigheden fx er 2π radianer/s, så svinger systemet med 1 periode pr. sekund.

Brugbart svar (1)

Svar #4
20. august 2021 af mathon

En harmonisk svingning er projektionen af en jævn cirkelbevægelse på én af koordinatsystemets akser.

Cirkelligningen:

$\begin{array}{llllll}&& \left ( x-a \right )^2+\left ( y-b \right )^2=r^2=A^2\quad \textup{A er amplituden}\\& \textup{eller p\aa}\\& \textup{vektorform:}\\&& \overrightarrow{r}(\varphi)=\begin{pmatrix} x(\varphi)\\ y(\varphi) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A\cdot \cos(\varphi)+a\\ A\cdot \sin(\varphi)+b \end{pmatrix}\\\\&& \textup{hvor }\varphi\textup{ er retningsvinklen }\omega\cdot t+\varphi_0\\\\&& \textup{og }\omega \textup{ er vinkelhastigheden}\\\\& \textup{oftest vil man}\\& \textup{placere koordinat-}\\& \textup{systemet s\aa \ }\\& (a,b) =(0,0)\\\\& \textup{dvs}\\&& \overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\y(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A\cdot \cos\left ( \omega\cdot t+\varphi_0 \right )\\ A\cdot \sin\left ( \omega\cdot t+\varphi_0 \right ) \end{pmatrix}\\&\\\\& \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
20. august 2021 af mathon

$\begin{array}{llllll}& \textup{En harmonisk}\\& \textup{svingning er } \\& \textup{alts\aa \ enten }\\& \textup{p\aa \ formen:}\\&& x(t)=A\cdot \cos\left ( \omega\cdot t+\varphi_{0x} \right )\\& \textup{eller p\aa \ }\\& \textup{formen:}\\&& y(t)=A\cdot \sin\left ( \omega\cdot t+\varphi_{0y} \right )\\\\\\& \textup{hvor}\\&& \sin(v)=\cos\left ( v-\frac{\pi}{2} \right )\\\\&& \cos(v)=\sin\left ( v+\frac{\pi}{2} \right ) \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
20. august 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textup{vinkelhastigheden = }\\ \textup{den cykliske frekvens:}\\& \omega=2\pi\cdot f=2\pi\cdot\frac{1}{T}=\frac{2\pi}{T}\\ \textup{dvs}\\ \textup{antal radianer pr. sekund}&\textup{hvor }2\pi\textup{ er enhedscirklens omkreds} \end{array}$

Skriv et svar til: Betydning af begrebet vinkelhastighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.