matematik underrum

#0

a) Hvis p ∈ S, må der gælde at p(1) = p(3) = 0.                                                                                                    b) Hvis S er et underrum af F_R, må den bl.a. indeholde nulfunktionen.                                                                c) Hvis f,g∈S gælder der, at  f(1) = f(3) = 0 og g(1) = g(3) = 0. Funktionen g er blot et element i S.

a) jeg får p(1) som ikke er 0 men p(3)=0, så hvis p(3)=0 så er p(x) i S?

b) jeg har vist at f er i S og at f kan skrives som en andengradsfunktion der opfylder f(1)=f(3)=0.

c) så hvis f(1)=f(3)=0 ligger i S som jeg viste i b) og at g(1)=g(3)=0 som også vil ligge i S, så vil produktet (fg)(1)=(fg)(3)=0 også ligge i S? Hvordan tjekker jeg det ift. addition og multiplikation?

#2

Mht.

a) Ja, p(1) ≠ 0. Altså må p ∉ S... En fejl i opgaven?                                                                                              c) Ja, sættes h(x) := f(x)·g(x), skal der vises at h(1) = h(3) = 0, for da vil h ∈ S.

skal jeg ikke tjekke h(x) ift. addition og multiplikation? 

#4 Du skal tjekke, at S er lukket under multiplikation, ikke under addition. Det sidste bliver du ikke bedt om.

jeg ved bare at h(1)=h(3)=0 fordi jeg jo før har fået at f(1)=f(3)=0 og så samme for g(1)=g(3)=0, så h(1)=f(1)g(1)=f(3)g(3)=h(3)=0. Så er det tilstrækkeligt?

og tak mht a) for jeg kunne ikke selv få det til at give mening så jeg tror der er fejl.

#6 Ja, det må være tilstrækkeligt:                                                                                                                                                                                                    h(1) = f(1)·g(1) = 0·0 = 0                                                                                                                                         h(3) = f(3)·g(3) = 0·0 = 0                                                               med h(1) = h(3) = 0 er h ∈ S.

Måske bør du spørge din instruktor eller forelæser mht. a). 

Tak!

Gælder det egentlig, at (1) i opgaven altid gælder generelt? F.eks. hvis jeg nu har R={f(x)=ax|a∈R}? vil fg så også være i R?

#8 Mener du ... R ={f | f(x)=ax , a er et reelt tal }??? Du kan prøve, men så vidt jeg husker er det ikke en generel egenskab. Spørgmålet er så... kan vi komme med et ekempel, et underrum hvor det ikke gælder.

Hov vent, med f,g ∈ R, så f(x) = ax og g(x) = bx, hvor a,b ∈R, sæt k(x) = f(x)·g(x)...Jeg tror dit eksempel dur.

Ja det gør jeg. Jeg kan ikke rigtig tænke over hvornår det ikke skulle passe, så jeg tror det gælder generelt? Så hvis f(x)=ax og g(x)=ax så h(x):=f(x)g(x) og h(x)=a^2x^2=ax*ax=f(x)g(x)? 

#10

Med f,g ∈ R, så f(x) = ax og g(x) = bx, hvor a,b ∈R, sæt k(x) = f(x)·g(x) = (ax)·(bx) = (ab)x². Her viser du, at produktet ikke ligger i R, og dermed gælder det ikke generelt. Har du undersøgt om R er et underrum som start?

f(0)=a*0=0, dvs. f(0)=0.

f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y)

(kf)(x)=kax=kf(x)

Så den opfylder da det hele og derfor er R et underrum? Men hvad jeg ikke forstår er din udregning at du kan sige at f(x)g(x)=(ax)(bx)=(ab)x^2. Er det fordi du får x^2 som ikke er lineært? eller er jeg helt forkert på den?

#12

... For at vise, at R er et underrum, skal den opfylde betingelserne om at være lukket (stabil) under addition og under skalar multiplikation. Det går galt allerede i 1.linje. 

Lad f,g ∈ R således at f(x) = ax og g(x) = bx, hvor a,b er reelle tal. Da er f(x) + g(x) = ax + bx = (a+b)x. Da summen a+b er et reelt tal, er f+g∈R.

Med k som et reelt tal og f∈ R, er k·f(x) = k·(ax) = kax. Da ka er et reelt tal, er k·f∈ R.

Mht. produktet så ja. Bemærk at f(x)g(x)=(ax)(bx)=(ab)x² fordi hvert faktor indeholder et x der så skal ganges sammen hvilket giver x². Så produktet ligger ikke i R, idet mængden kun indholder 1.gradpolynomier på formen ax. 

Mange tak for hjælpen! :)