Matematik

Modellere væksten / opstil differentialligning

09. oktober 2021 af Ane0 - Niveau: A-niveau

Jeg har fået stillet følgende opgaver:

En kaninbestand vokser med 25% pr. år. Hvert år dør 10 kaniner.

Hvis vi lader R betegne kaninbestandes størrelse til tiden t, kan vi modellere væksten af kaninbestanden med en differentialligning. Hvilken?

dR/dt=

Jeg tænkte selv det måtte være R*1,25-10, men det er forkert.

Har samtidig også fået denne opgave:

En steg sættes til langtidsstegning i en ovn. I en model er stegens indre temperatur T (målt i C) en funktion af tiden x (målt i minutter).

Den hastighed, hvormed stegens indre temperatur stiger til tidspunktet xx, er proportional med forskellen mellem ovnens temperatur og stegens indre temperatur.

Det oplyses at ovnens temperatur er 140*C, og at proportionalitetskonstanten er 0.011

Opstil en differentialligning, som T skal opfylde.

Som jeg tænkte måtte være y'=0.011*(y+140), men det også forkert.


Brugbart svar (0)

Svar #1
10. oktober 2021 af SuneChr

I den første opgave med kaniner kan vi opstille en simpel formel.
Lad der i år 0 være R0 kaniner.
R1 = R0·1,25 - 10
R2 = R1·1,25 - 10
.............
R_{n}=R_{0}\cdot 1,25^{n}-10\sum_{j=o}^{n-1}1,25^{j}
Sigma er en kvotientrække, som har en bekvem formel. Reducér.


 


Svar #2
10. oktober 2021 af Ane0

Når jeg reducerer, bliver det til

R_n=(R_0-40)*1,25^n+40

Som også er forkert. Og hvordan ved jeg om det er en differentialligning?


Brugbart svar (0)

Svar #3
10. oktober 2021 af SuneChr

Jeg kan desværre ikke trylle en differentialligning, med kaniner, op af hatten.
En differentialligning har y og y' og/eller y'' som ubekendte, og det kan jeg ikke konstruere her.
Udviklingen Rn er en annuitet, - med lige store indbetalinger i lige store perioder og med samme rentefod.
Her er det kaniner og ikke kroner.
Din reducering er rigtig nok og passer også, når vi indsætter nogle test-værdier.


Brugbart svar (0)

Svar #4
10. oktober 2021 af SuneChr

Fortsat # 3
Ahh, - jo!
Prøv at differentiere Rn og se om man i udtrykket Rn'  kan indsætte Rn .
Rn' = 1/1,25·(n·Rn + 40)
Tjek den lige, da det gik lidt hurtigt.


Svar #5
10. oktober 2021 af Ane0

Det er desværre også forkert. Men tak for forsøget.


Brugbart svar (1)

Svar #6
10. oktober 2021 af SuneChr

Rn' = (Rn - 40)·ln 1,25


Svar #7
10. oktober 2021 af Ane0

Jeg fandt frem til, at det er R'=0,25R-10, da det er ændringen i bestanden, og ikke hele bestanden. Men tak!


Brugbart svar (0)

Svar #8
10. oktober 2021 af SuneChr

Bemærk, at
ln 1,25 = 0,22...
og
40·ln 1,25 = 8,92...


Skriv et svar til: Modellere væksten / opstil differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.