Matematik

Lineært uafhængig, frembringer eller udgør en basis for R3

27. december 2021 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har følgende spørgsmål som kan ses i vedhæftede - og har ærligt svært ved at forstå hvordan man løser de her opgaver.

Jeg har forsøgt løst a. ved at opskrive følgende:

Familien, $(u_{1},u_{2})$ , er lineært uafhængige hvis og kun hvis

$a_{1}+a_{2}=0$

$a_{1}+a_{2}+a_{3}=0$

Men da ligningssystemet ikke har andre løsninger end 0, så er denne lineær uafhængig.

Men jeg ved ikke om dette svar er korrekt? Det virker meget vag.

Desuden ved jeg slet ikke hvordan b. skal gribes an. Kan nogen hjælpe mig videre?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2021-12-27 kl. 10.55.13.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. december 2021 af gavs (Slettet)

Det er samme fremgangsmåde i alle tilfælde. Lav en matrix A af søjlevektorerne og find så rangen af den. Hvis rangen er lig med antallet af søjler, så er søjlevektorerne lineært uafhængige. Afbildningen repræsenteret ved A er derfor injektiv, da nulrummet jo er 0-dimensionelt. Hvis ligningen Ax=b har en løsning, så betyder injektiviteten jo, at der kun er netop én løsning, og så har man jo vist, at hvis man laver en linearkombination af familien af søjlevektorerne og sætter den lig med nulvektoren, så eksisterer kun den trivielle løsning. Hvis rangen er lig med antallet af rækker, så er afbildningen surjektiv. Der er altså en løsning til Ax=b for alle b. Derfor frembringer søjlevektorerne codomænet for afbildningen svarende til det vektorrum, de selv ligger i. Hvis rangen både er lig med antallet af rækker og søjler, så har ligningen Ax=b netop en løsning for alle b, og så er afbildningen både injektiv og surjektiv, hvilket svarer til, at søjlevektorerne både er lineært uafhængige og er frembringere, og dermed udgør de en basis for det pågældende vektorrum.

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. december 2021 af MandenMedMangeHatte

Vektorerne u1 og u2 er lineært uafhængige da der ikke findes en konstant k1 og k2 (udover 0) således at

$\mathbf{u_1}k_1+\mathbf{u_2}k_2 = \mathbf{0}$

Vektorerne (v1,v2,v3) er lineært afhængige da

$\mathbf{v_2}-\mathbf{v_1}+\mathbf{v_3}=\mathbf{0}$

Vektorerne (w1,w2,w3) er lineært uafhængige da matricen hvis søjler udgøres af (w1,w2,w3) har fuld rang.

$\mathbf{M}=\Bigg[\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\Bigg] \xrightarrow[\text{Trappeform}]{} \mathbf{M}=\Bigg[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\Bigg]$

Prøv at lave den sidste selv. Jeg er her hvis du skulle få brug for hjælp.

Svar #3
27. december 2021 af louisesørensen2

Tak for hjælpen. Jeg har fundet ud af det. Dog er jeg stadig i tvivl om hvordan jeg vil bestemme om de forskellige vektorer frembringer R3. Er der en bestemt måde man kan gøre det på?
Min bog siger selv:

$v=\sum_{i\in I} v_{i}a_{i}$

Men kan ikke rigtig få en idé ud fra den formel.

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. december 2021 af gavs (Slettet)

Som jeg skriver i #1. Betragt matricen nedenfor dannet af to af standardbasens vektorer i F^4:

$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Rangen er 2. Søjlevektorerne er lineært uafhængige, men de frembringer ikke F^4. Hvad hvis man tilføjer yderligere to vektorer, så familien stadig er lineært uafhængig? Så bliver rangen 4, og familien frembringer nu F^4 og er endda en basis. Hvad hvis man så tilføjer endnu flere vektorer? Så bliver rangen ikke højere, da man maksimalt kan lave en familie af 4 lineært uafhængige vektorer i F^4. Familien frembringer stadig F^4, men de er bare ikke længere en basis for F^4.

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. december 2021 af Eksperimentalfysikeren

#4 Hvor f[r du den fjerde koordinat fra? Hvad mener du med F^4?

I spørgsmål d) er der fire vektorer, men de har kun tre koordinater. Derfor kan de ikkevære lineært uafhængige.

Brugbart svar (0)

Svar #6
27. december 2021 af Eksperimentalfysikeren

#3 Undersøg, om du ud fra formlen kan danne en vilkårlig vektor i R³.

Brugbart svar (0)

Svar #7
27. december 2021 af gavs (Slettet)

Det var et generelt eksempel. Med F^4 menes søjlevektorerne i 4 dimensioner med indgange i skalarlegemet. Det er defineret sådan i lærebogen for lineær algebra på KU. Jeg antog, det er det kursus, trådstarter er i gang med, eftersom opgaverne vist stammer derfra.

Til trådstarter: Se sætning 4.3.11 og korollar 4.3.12 i lærebogen, hvis det altså er lineær algebra på KU, du er i gang med.

Svar #8
27. december 2021 af louisesørensen2

Tak igen for uddybelsen.

Det er LinAlg på KU jeg er i gang med, jeg er særligt glad for 4.3.12, men forstår ikke 4.3.11 så forfærdeligt meget.. kan ikke rigtig se hvordan jeg skal kunne inddrage injektivitet, surjektivitet for disse.

Brugbart svar (0)

Svar #9
27. december 2021 af jl9

"frembringe" - er det hvad de engelske lærebøger skriver som "span"?

Ved ik hvad der står i den bog, men er injektiv, surjektiv og bijektiv- ikke begreber som har med afbildninger at gøre?

Brugbart svar (1)

Svar #10
28. december 2021 af Eksperimentalfysikeren

#0: De to ligninger, du har skrevet, giver ikke mening, fordi du ikke angiver, hvad a'erne står for.

Du skal opstille ligningen:

$(\vec{u_1},\vec{u_2})\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22}\\ u_{31} & u_{32} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$ ,

hvor de to søjler er de to givne u-vektorer. Ligningen skal løses med hensyn til x'erne. Da x'erne i dette tilfælde begge er 0, er vektorerne lineært uafhængige.

Tilsvarende for de efterfølgende opgaver, idet der skal være et x for hver vektor.

#9: Nu kender jeg ikke bogens fremgangsmåde, men det ser ud til, at man ser på en afbildning af R² ind i R³ i første opgave og bruger det til at frembringe en billedmængde. Denne billedmængde er udspændt af vektorerne u₁ og u₂.

Skriv et svar til: Lineært uafhængig, frembringer eller udgør en basis for R3

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.