Matematik

Integration ved substitution

30. januar 2022 af Differentkindsofrainbows - Niveau: A-niveau

Vi har lige fået om integralregning, og jeg skal til at løse mit første problem, men jeg har virkelig svært ved det.

Opgaven er vedhæftet (og det er uden hjælpemidler)

Vores lærer havde givet os et dokument om 'Integration ved substitution', hvor der stod: "Metoden kræver at der i integralet optræder en faktor der differentieret giver en anden faktor."

Men det var først indtil, at jeg stødte på denne side, https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/infinitesimalregning/integration-ved-substitution - at jeg tænkte, at jeg måske skal bruge integration ved substitution, da der står:

Når integranden (indmaden i integralet) indeholder et produkt af funktioner, og når en af dem er sammensat.

- Jeg kan godt kan se (tror jeg), at f(x) består af to produkter hvoraf den ene af de to produkter består af en sammensat funktion.

Jeg tror ikke jeg kan bruge det dokument min lærer har givet os om integration ved substitution i det her tilfælde, da jeg ikke kan se, at der er en faktor, som differentieret giver en anden faktor... Jeg kan heller ikke forstå det, der står i webmatematik. Jeg bliver virkelig forvirret omkring fremgangsmetoden, og hvorfor man gør som man gør, så hvis nogen kan hjælpe mig med det vil jeg være meget taknemmelig!

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2022-01-30 kl. 15.13.08.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. januar 2022 af mathon

Brugbart svar (1)

Svar #2
30. januar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} \textup{s\ae t }&u=x^2+1\textup{ og dermed }2\mathrm{d}u=4x\mathrm{d}x \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
30. januar 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \int 4x\cdot e^{x^2+1}\mathrm{d}x=\int e^{x^2+1}\cdot 4x\mathrm{d}x=\; ? \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
30. januar 2022 af mathon

Giver det mening?

Svar #5
30. januar 2022 af Differentkindsofrainbows

#2 Tak - jeg kommer lige tilbage om en halv time igen, men du kalder den indre funktion for u. Når den indre funktion differentieres og ganges med 2, er det det samme som den ene faktor 4x. Alright. (Det samme som der stod i min lærers dokument) Jeg ved dog ikke, hvordan jeg selv uden hjælpemidler ville kunne komme frem til det

Svar #6
30. januar 2022 af Differentkindsofrainbows

Jeg har fået det her, men jeg ved ikke om det er rigtigt?

$\int e^t\cdot 2du$

Brugbart svar (1)

Svar #7
30. januar 2022 af mathon

Enten substituerer du med t eller med u ikke begge dele.

Men ellers er det rigtigt.

Brugbart svar (1)

Svar #8
30. januar 2022 af mathon

$\small \int e^u\cdot 2du = 2\cdot \int e^udu$

Svar #9
30. januar 2022 af Differentkindsofrainbows

Hov ja ups, og tak for hjælpen!

Brugbart svar (1)

Svar #10
30. januar 2022 af SauIGoodman

Stærkt arbejde!

Brugbart svar (1)

Svar #11
30. januar 2022 af ringstedLC

#0

Vi har lige fået om integralregning, og jeg skal til at løse mit første problem, men jeg har virkelig svært ved det.

I kan da ikke "lige have fået om int.-regning" og så starte ud med denne her.

#0

... da der står:

Når integranden (indmaden i integralet) indeholder et produkt af funktioner, og når en af dem er sammensat.

- Jeg kan godt kan se (tror jeg), at f(x) består af to produkter hvoraf den ene af de to produkter består af en sammensat funktion.

Ikke to produkter, men et produkt af to funktioner. Et produkt består af faktorer, her funktioner.

Brugbart svar (1)

Svar #12
30. januar 2022 af ringstedLC

Eksemplet på webmatematik.dk minder om din opgave.

$\begin{align*} \int \!\underset{\textup{fkt.}}{\underbrace{x}}\cdot \underset{\textup{s.-sat fkt.}}{\underbrace{e^{x^2}}}\mathrm{d}x &= \\ t=\underset{\textup{indre fkt.}}{\underbrace{x^2}} \Rightarrow \Bigl(x^2 \Bigr)'=\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} &= 2x \\ \mathrm{d} t &= 2x\cdot \mathrm{d} x \\ \mathrm{d} x &= \frac{\mathrm{d} t}{2x}=\frac{1}{2x}\,\mathrm{d} t \\ \int \!x\cdot e^{x^2}\;\mathrm{d}x &= \int \!x\cdot e^{t}\cdot\underset{\mathrm{d}x}{\underbrace{\tfrac{1}{2x}\,\mathrm{d}t}} \\ &= \int \!\tfrac{1}{2}\,e^{t}\,\mathrm{d}t=\tfrac{1}{2}\cdot\!\int \!e^{t}\,\mathrm{d}t \\ &= \tfrac{1}{2}\cdot e^{t}+c \\ \int \!x\cdot e^{x^2}\;\mathrm{d}x &= \tfrac{1}{2}\cdot e^{x^2}+c\;,\;x^2=t \\\\ \textup{Pr\o ve}\\ \left ( \tfrac{1}{2}\cdot e^{x^2}+c \right )' &= \tfrac{1}{2}\cdot \left (e^{x^2} \right )' \\ &= \tfrac{1}{2}\cdot e^{x^2}\cdot \Bigl(x^2\Bigr)'=\tfrac{1}{2}\cdot e^{x^2}\cdot 2x \\&=x\cdot e^{x^2} \end{align*}$

Svar #13
30. januar 2022 af Differentkindsofrainbows

#11 Jeg har faktisk haft om det først nu, men nu går jeg også på fjernundervisning, hvor der er frivillige opgaver (som ikke skal afleveres) før denne endelige modulopgave (som skal afleveres) - jeg gik direkte til denne, da jeg ikke kan nå at lave det andet, og må finde plads til det på et senere tidspunkt - Men det er korrekt, det er ikke lige de her opgaver man starter ud med.

- og tak for rettelsen :D

Skriv et svar til: Integration ved substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.