Matematik

13. februar 2022 af larasen - Niveau: B-niveau

Hej, jeg har lidt svært ved de her spørgsmål, er der nogen der kan hjælpe?

En kugleformet olietank har radius r. Når man skal måle oliestanden stikkes en målestok lodret ned i tanken, hvorved olieoverfladens højde h over bunden bestemmes.

1) Bestem rumfanget V af olien ved en oliestand på h (0 ≤ h ≤ 2r).

2) Olietanken rummer 2500 liter. Bestem r.

3) Tegn grafen for V som funktion af h

4) Tegn grafen for dV dh = V’(h) som funktion af h

6) Udregn ved hjælp af dV dh hvor mange liter olie, der forbruges, når oliestanden falder 1 cm

a) fra 100 cm til 99 cm b) fra 10 cm til 9 cm

Diskutér herunder betydningen af dV dh sammenholdt med udseendet af grafen for V.

Vedhæftet fil: figur 1- kugletank .pdf

Brugbart svar (1)

Svar #1
13. februar 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textbf{1)}\\&&V(h,r)=\pi\cdot h^2\cdot \left ( r-\frac{1}{3}h \right )\\\\ \textbf{2)}\\&&2.5\;m^3=\frac{4\pi}{3}\cdot r^3\\\\&& r=\left ( \frac{3\cdot \left ( 2.5\;m^3 \right )}{4\pi} \right )^{\frac{1}{3}} \end{array}$

Svar #2
13. februar 2022 af larasen

mange tak for hjælpen , kan du godt forklare mig hvordan du har lavet den første opave:)

Brugbart svar (1)

Svar #3
13. februar 2022 af SuneChr

$V(h)=\pi \int_{-r}^{h-r}\left ( r^{2}-x^{2} \right )\, \textup{d}x$ $r=50\sqrt[3]{\frac{15}{\pi }}$ mål i cm og i cm³

Svar #4
13. februar 2022 af larasen

Tak for hjælpen, er lidt i tvivl om hvilken opgave du snakker om?

#3
$V(h)=\pi \int_{-r}^{h-r}\left ( r^{2}-x^{2} \right )\, \textup{d}x$ $r=50\sqrt[3]{\frac{15}{\pi }}$ mål i cm og i cm³

Brugbart svar (1)

Svar #5
13. februar 2022 af ringstedLC

#4: Du kan bestemme V(h) ved indsættelse af radius r.

Brugbart svar (1)

Svar #6
13. februar 2022 af ringstedLC

$\begin{align*} V_{olie} &= V_{kugletop} \\ &= \pi\,h^2\cdot \bigl(r-\tfrac{1}{3}h\bigr) \\ V(h,r) &= ...\;,\;0\leq h\leq 2\,r \end{align*}$

$\begin{align*} V(h)=V\Bigl(h,\sqrt[3]{\tfrac{15}{8\pi}}\,\Bigr) &= ... \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} h}=V'(h) &= ... \end{align*}$

$\begin{align*}\textbf{a)} \\ V'\bigl(\tfrac{99.5}{100}\bigr) &= \;?\,\tfrac{\textup{L}}{\textup{m}} \\\\ \textbf{b)} \\ V'\bigl(\tfrac{9.5}{100}\bigr) &= \;?\,\tfrac{\textup{L}}{\textup{m}} \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #7
13. februar 2022 af ringstedLC

Vedhæftet fil:_0.png

Svar #8
14. februar 2022 af larasen

den første opgave fostår jeg ikke rigtige, hvad der skal indsættes for h og r?

Brugbart svar (0)

Svar #9
14. februar 2022 af Soeffi

#8.

Det er formlen for en kuglekalot.

Svar #10
14. februar 2022 af larasen

ja, men forstår ikke rigtige, hvad der skal indsættes i formlen:)

Svar #11
14. februar 2022 af larasen

(0 ≤ h ≤ 2r), der er angivet den her men forstår den ikke helt

Brugbart svar (0)

Svar #12
14. februar 2022 af Soeffi

#10.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2022-02-14 kl. 11.58.19.png

Brugbart svar (1)

Svar #13
14. februar 2022 af SuneChr

Målepindens maksimale visning er 2r. Pinden rammer bunden af kuglen og går gennem kuglens centrum.
Oliestanden er h fra bunden. I bunden er h = 0 og i toppen, når tanken er helt fuld, er h = 2r.
Man kan benytte enhver enhed, mm, cm eller m, men det vil være praktisk at benytte cm (opgave 6 og a).
Formlen for V(h) (# 3) er beregnet ud fra en halvcirkels rotation om x-aksen, som også er # 12 billedet.

Brugbart svar (1)

Svar #14
14. februar 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \#\textbf{11}\\&\textup{cirklen}\\&&(x-r)^2+y^2=r^2\qquad r\cdot x^2\\\\&&y^2=r^2-(x-r)^2=2r x-x^2\\&\textup{roteres }360\degree\\&\textup{om x-aksen:}\\&&V(h)=\pi\cdot \int_{0}^{h}y^2\,\mathrm{d}x=\pi\cdot \int_0^{h}\left (2rx-x^2 \right )\,\mathrm{d}x=\pi\cdot \left [r\cdot x^2-\frac{1}{3}x^3 \right ]_0^{h}\\&0\leq h\leq 2r\\&& V(h)=\pi\cdot \left ( r\cdot h^2-\frac{1}{3}\cdot h^3 \right )=\pi\cdot h^2\cdot \left ( r-\frac{1}{3}h \right ) \end{array}$

Svar #15
14. februar 2022 af larasen

kan du godt vise mig, hvor man løser opgaven så med tal? er lidt i tvivl med hvad for nogle tal jeg skal bruge så

Brugbart svar (0)

Svar #16
14. februar 2022 af mathon

Du beregner r i 2).

Brugbart svar (0)

Svar #17
18. februar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} \textbf{3)}\\&& V(h)=-\frac{\pi}{3}\cdot h^3+2.64505\cdot h^2\qquad \left ( \left [ h \right ] =meter\right )\\\\&& \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} h}(V(h))=V{\, }'(h)=-\pi\cdot h^2+5.2901\cdot h \end{array}$

Skriv et svar til: Matematik

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.