Matematik

Glaspartiets højde og bredde, Vejen til Matematik B2, Opgave 149, Side 161, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

28. marts 2022 af ca10 - Niveau: B-niveau

Opgave 149

Tegningen viser et 8 meter bredt parcelhus med en taghældning på 50^o . I stuen ovenpå ønsker man det størst mulige rektangulære glasparti i hustets gavl. Beregn glaspartiets højde og bredde.

Jeg har ikke mulighed for vedhæfte et billed af tegningen.

Er der nogen der kan vise hvordan man beregner glaspartiets højde og bredde.

På forhånd tak

Svar #1
28. marts 2022 af ca10

Jeg har forstået at man skal optimerer glaspartiets højde og bredde, men hvordan fortager man den beregning.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. marts 2022 af ringstedLC

Vedhæftet fil:_0.png

Brugbart svar (1)

Svar #3
28. marts 2022 af ringstedLC

Figuren viser kun det halve vindue:

$\begin{align*} Areal(x) &= (4-x)\tan(50^{\circ})\,x \\ &= \left (-x^2+4x \right )\tan(50^{\circ}) \\ Areal'(x)=0 &= \tan(50^{\circ})\left (-x^2+4x \right )' \\ 0 &= \left (-x^2+4x \right )'\Rightarrow x_{maks}=\;? \\ b &= 2x_{maks} \\ h &= g(x_{maks}) \end{align*}$

Svar #4
29. marts 2022 af ca10

0 = ( -X^2 +4X)`

0 = -2X + 4

-2X = -4

X = 2

X_maks = 2

Bredden: b = 2X_maks = 2*2 meter = 4 meter

Højden h = g(X_maks) = tan (50^o) * 2 =2,38 meter

Svar #5
29. marts 2022 af ca10

Tak for svaret

Jeg håber at jeg at ud fra dit svar har løst opgave 149 rigtigt.

Brugbart svar (1)

Svar #6
29. marts 2022 af ringstedLC

Du fik nok lidt rigelig hjælp (bemærk x-værdien af maksimum for "Areal(x)"), men den kunne ihvertfald løses på denne måde, altså:

- udtryk arealets ene faktor (dimension) vha. den anden.

- Indsæt dette udtryk i en funktion af den anden, så funktionen kun har én variabel.

- Bestem funktionens maksimum fx ved differentiering.

NB. Taghældningsfunktionen som bestemmer hjørnet A af vinduet, burde have været:

$\begin{align*} g(x) &= \tan(50^{\circ})\,x\;,\;0\;{\color{Red} <}\;x\;{\color{Red} <}\;4 \end{align*}$

for at arealet bliver større end 0.

Svar #7
30. marts 2022 af ca10

Tak for svaret

Det kan nogle gange være nødvendigt at få lidt mere hjælp nogle gange end andre gange.

Svar #8
21. januar 2023 af ca10

Til ringstedL C

Jeg har set på opgaven igen og jeg har et spørgsmål til hvordan du kommer frem til den ene faktor i funktionsudtrykket for arealet :( 4 - x )

Areal ( x ) = ( 4 - x ) • tan ( 50⁰ ) •x

Den anden faktor tan ( 500 ) •x er beregnet på følgende måde:

a er højden i glaspartiet som her kaldes x og b er bredden i glaspartiet.

tan ( A ) = ----------

a = x og A = 50⁰ indsættes:

tan ( 50⁰ ) = -------------- ⇔ b = tan ( 50⁰) • x

Mit spørgsmål er, hvordan beregner du den anden faktor ( 4 - x ) ?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #9
21. januar 2023 af ringstedLC

Vedhæftet fil:_0.png

Brugbart svar (1)

Svar #10
21. januar 2023 af ringstedLC

Din tangensrelation skal ikke have "bredde" i nævneren.

På figuren i #9 er punktet A et punkt på grafen for højden af glaspartiet:

$\begin{align*} \tan(50^{\circ}) &= \frac{\textup{h\o jde}}{x_A}\;,\;0<x_A<4 &&,\; \tan(\angle v)=\frac{\textup{modst.}}{\textup{hosl.}} \\ &= \frac{\textup{h\o jde}}{4-\textup{bredde}} &&,\;0<4-\textup{bredde}<4 \Rightarrow 0<\textup{bredde}<4 \\ \textup{h\o jde} &= \tan(50^{\circ})\cdot (\,\underset{x}{\underbrace{4-\textup{bredde}}}) \\ h(x) &= \tan(50^{\circ})\cdot x\;,\;0<x<4 &&,\;h(x)\approx g(x)\,\textup{p\aa\,figuren} \end{align*}$

Og igen; beregningerne gælder kun for det halve glasparti pga. symmetrien.

$\begin{align*} x_A &= 4-\textup{bredde} \\ \textup{bredde} &= 4-x_A \\ b(x) &= 4-x \\ \textup{Areal} &= \textup{bredde}\cdot \textup{h\o jde} \\ Areal(x) &= b(x)\cdot h(x) \\ Areal(x) &= (4-x)\cdot \tan(50^{\circ})\cdot x\;,\;0<x<4 \end{align*}$

Svar #11
21. januar 2023 af ca10

Tak for svaret

Skriv et svar til: Glaspartiets højde og bredde, Vejen til Matematik B2, Opgave 149, Side 161, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.