Matematik

(5(cos(x)-3)*(2sin(x)+1) = 0, Opgave 419, (Ib Axelsen m.fl)

23. april 2022 af ca10 - Niveau: B-niveau

Opgave 419.

Løs ligningen:

(5 • cos ( x ) - 3 ) • ( 2 • (sin ( x ) + 1 ) = 0 ,   x ∈ [ 0 ; 2π ]

------------------------------------------------------------------------------

Jeg er klar over at løse ligningen, betyder at man skal bestemme x som er et radiantal, hvor

(5 • cos ( x ) - 3 ) • ( 2 • (sin ( x ) + 1 ) = 0 og intervallet er   x ∈ [ 0 ; 2π ]

Fra formelsamlingen kan jeg se:

cos ( x + 2π ) = cos ( x )

og 

sin ( x + 2π ) = sin ( x )

Men jeg kommer ikke videre.

Mit spørgsmål er, hvordan løser man ligningen ?

På forhånd tak


Brugbart svar (1)

Svar #1
23. april 2022 af mathon

(5 • cos ( x ) - 3 ) • ( 2 • (sin ( x ) + 1 ) = 0 og intervallet er   x ∈ [ 0 ; 2π ]

Når mindst én af af faktorerne er lig med nul, er produktet lig med nul.

\small \begin{array}{lllllll} \textup{1. faktor:}\\&5\cdot \cos(x)-3=0\\\\& \cos(x)=\cos(2\pi-x)=\frac{3}{5}=0.6\\\\& x=\cos^{-1}\left ( 0.6 \right )=0.927295\\\\& 2\pi-x=0.927295\\& x=2\pi-0.927295=5.35589\\\\\\\\ \textup{2. faktor:}\\&2\cdot \sin(x)+1=0\\\\ & x=\sin\left ( x \right )=\sin(\pi-x)=-\frac{1}{2}=-0.5\\\\&x=\sin^{-1}(0.5)=\frac{\pi}{6}=0.523599\\\\& \pi-x=\frac{\pi}{6}\\& x=\frac{6\pi-\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}=2.61799\\\\\\ \textup{L\o sning:}\\&x=\left\{\begin{matrix} 0.523599\\ 0.927295 \\ 2.61799 \\5.35589 \end{matrix}\right. \end{array}


Brugbart svar (3)

Svar #2
23. april 2022 af peter lind

Du bruger 0 reglen.

(5 • cos ( x ) - 3 ) • ( 2 • (sin ( x ) + 1 ) = 0 <=> 5 • cos ( x ) - 3 = 0 ∨  2 • sin ( x ) + 1 = 0

Der gælder også  sin(x) = sin(π -x) og cos(x) = cos(-x)


Svar #3
23. april 2022 af ca10

Tak for svarene


Brugbart svar (2)

Svar #4
23. april 2022 af Eksperimentalfysikeren

I dit indlæg er der fejl i parenteserne.


Svar #5
23. april 2022 af ca10

Tak for svaret


Brugbart svar (1)

Svar #6
24. april 2022 af ringstedLC

Hvis denne startparentes udelades (som i #1):

\begin{align*} && \bigl(5 \cdot \cos(x)-3\bigr) \!\cdot\! \Bigl(2 \cdot\! {\color{Red} \bigl(}\sin(x)+1 \Bigr) &= 0\;,\;x\in\left [\, 0\,;2\,\pi \right ] \end{align*}

\begin{align*} && \bigl(5\cdot \cos(x)-3\bigr) \!\cdot\! \bigl(2\cdot \sin(x)+1 \bigr) &= 0 \\ && \left.\begin{matrix}5\cdot \cos(x)-3 \\5\cdot \cos(2\,\pi-x)-3\end{matrix}\right\} &=0 &\;\vee\;&& 0 &= \left\{\begin{matrix}2 \!\cdot\! \sin(x)+1 \\2 \!\cdot\! \sin(\pi-x)+1\end{matrix}\right. \\ && \left.\begin{matrix}\cos(x)\\\cos(2\,\pi-x)\end{matrix}\right\} &=0.6 &\;\vee\; && 0.5 &= \left\{\begin{matrix}-\sin(x-2\,\pi) \\-\sin(\pi-x)\end{matrix}\right. \\ && \left.\begin{matrix}x \\2\,\pi-x\end{matrix}\right\} &= \cos^{-1}(0.6) &\;\vee\; &&\!\!\!\! \sin^{-1}(0.5) &= \left\{\begin{matrix}2\,\pi-x\\ x-\pi \end{matrix}\right. \\ && x &= \left\{\begin{matrix} \cos^{-1}(0.6) \\2\,\pi-\cos^{-1}(0.6) \end{matrix}\right\}\!\!\!\! &\;\vee\; && x &= \left\{\begin{matrix} 2\,\pi-\sin^{-1}(0.5) & \\ \pi+\sin^{-1}(0.5) \end{matrix}\right. \\ && x &\approx \left\{\begin{matrix} 0.93 \\ 5.36 \end{matrix}\right\} &\;\vee\; && x &\approx \left\{\begin{matrix} 5.76 \\3.67\end{matrix}\right. \end{align*}


Brugbart svar (1)

Svar #7
24. april 2022 af ringstedLC

Kontrol af løsninger:

\begin{align*} \Bigl(5\cdot \cos\bigl(\cos^{-1}(0.6)\bigr)-3\Bigr)\cdot \Bigl(2\cdot \sin\bigl(\cos^{-1}(0.6)\bigr)+1\Bigr) &= 0 \\ \Bigl(5\cdot \cos\bigl(2\,\pi-\cos^{-1}(0.6)\bigr)-3\Bigr)\cdot \Bigl(2\cdot \sin\bigl(2\,\pi-\cos^{-1}(0.6)\bigr)+1\Bigr) &= 0 \\ \Bigl(5\cdot \cos\bigl(2\,\pi-\sin^{-1}(0.5)\bigr)-3\Bigr)\cdot \Bigl(2\cdot \sin\bigl(2\,\pi-\sin^{-1}(0.5)\bigr)+1\Bigr) &= 0 \\ \Bigl(5\cdot \cos\bigl(\pi+\sin^{-1}(0.5)\bigr)-3\Bigr)\cdot \Bigl(2\cdot \sin\bigl(\pi+\sin^{-1}(0.5)\bigr)+1\Bigr) &= 0 \end{align*}


Brugbart svar (1)

Svar #8
24. april 2022 af ringstedLC

Hvis denne startparentes udelades:

\begin{align*} && \bigl(5\cdot \cos(x)-3\bigr)\cdot {\color{Red} \Bigl(}2\cdot \bigl(\sin(x)+1 \bigr) &= 0\;,\;x\in\left [\, 0\,;2\,\pi \right ] \\ && \bigl(5\cdot \cos(x)-3\bigr)\cdot 2\cdot \bigl(\sin(x)+1 \bigr) &= 0 \\ && 2\neq 0\Rightarrow \left.\begin{matrix}5\cdot \cos(x)-3 \\5\cdot (2\,\pi-x)-3\end{matrix}\right\} &=0 &\;\vee\; &&\!\!\!\! 0 &= \sin(x)+1 \\ && \left.\begin{matrix}\cos(x) \\\cos(2\,\pi-x)\end{matrix}\right\} &= 0.6 &\;\vee\; && 1 &=\sin(x-\pi) \\ && \left.\begin{matrix}x \\2\,\pi-x\end{matrix}\right\} &= \cos^{-1}(0.6) &\;\vee\; &&\!\!\!\! \sin^{-1}(1) &=x-\pi \\ && x &= \left\{\begin{matrix} \cos^{-1}(0.6)\\ 2\,\pi-\cos^{-1}(0.6) \end{matrix}\right\}\!\!\!\! &\;\vee\; && x &= \tfrac{3\,\pi}{2} \\ && x &\approx \left\{\begin{matrix} 0.93\\ 5.36 \end{matrix}\right\} &\;\vee\; &&\!\!\!\! x &\approx 4.71 \end{align*}


Brugbart svar (1)

Svar #9
24. april 2022 af ringstedLC

Kontrol af løsninger:

\begin{align*} \Bigl(5\cdot \cos\bigl(\cos^{-1}(0.6)\bigr)-3\Bigr)\cdot \Bigl(\sin\bigl(\cos^{-1}(0.6)\bigr)+1\Bigr) &= 0 \\ \Bigl(5\cdot \cos\bigl(2\,\pi-\cos^{-1}(0.6)\bigr)-3\Bigr)\cdot \Bigl(\sin\bigl(2\,\pi-\cos^{-1}(0.6)\bigr)+1\Bigr) &= 0 \\ \Bigl(5\cdot \cos\bigl(\tfrac{3\,\pi}{2}\bigr)-3\Bigr)\cdot \Bigl(\sin\bigl(\tfrac{3\,\pi}{2}\bigr)+1\Bigr) &= 0 \end{align*}


Skriv et svar til: (5(cos(x)-3)*(2sin(x)+1) = 0, Opgave 419, (Ib Axelsen m.fl)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.