Matematik

Funktioners grænseopførsel, Opgave 802, Side 235, HF-Tilvalg ( IB Axelsen m.fl)

01. juni 2022 af ca10 - Niveau: B-niveau

I bogen Matematik HF Tilvalg som i dag svarer til B-niveau er der emnet Funktioners Gænseopførsel, det drejer sig her om opgave 802, hvor mit spørgsmål drejer sig om c.

Funktionen g er bestemt ved

x² + x -6

g ( x ) = ---------------

x² - 4

a) Bestem:

lim g( x )

x → 0 ( x → 0 indsættes)

0² + 0 - 6 -6 3

lim g( 0 ) = -------------- = ------ = -----

x → 0 0² - 4 -4 2

(Passer med facitlisten side 264 )

b) Bestem:

lim g( x ) ( x → 1 indsættes)

1² + 1 - 6 2 - 6 - 4 4

lim g( 1 ) = --------------- = --------- = ---------- = ------

x →1 1² - 4 1 - 4 -3 3

( Passer med facitlisten side 264 )

c) Bestem:

lim g( x ) ( x → 2 indsættes)

2² + 2 - 6

lim g( x ) = ----------------

x → 2 2² - 4

Problemet her er at, der kommer til at stå 0 i nævneren og man kan jo ikke dividerer med 0.

I facitlisten står der:

----

Det betyder at x ikke er lig med 2 men x går mod 2

Hvis jeg prøver med x = 1,9

1,9² + 1,9 - 6 -0,49 5

lim g( 1,9 ) = ---------------- = ----------- = 1,256 kan omskrives til omtrent --------

x → 1,9 1,9² - 4 -0,39 4

Hvis jeg prøver med x = 2,1

2,1²+2,1 - 6 - 0,51 5

lim g(2,1 ) = ---------------- = ----------- = 1,243 kan omskrives til omtrent --------

x → 2,1 2,1² - 4 -0,41 4

I bogen side 123, er der følgende defintion:

Lad f være en funktion defineret i et interval I omkring x₀, evt x₀ ikke medregnet.

Hvis der om enhver følge af tal x₁, x₂, x₃ ...., der nærmer sig x₀, gælder, at funktionsværdierne f(x_1), f(x₂), f(x₃) .... kommer tættere og tættere på et tal, siger man, at f(x) går mod a, når x går mod x₀.

Det skrives f(x) → a når x → x₀

Så forstår jeg det sådan, at hvis x → 1,9 eller at x → 2,1 så g( x ) → 2

Idet at fra hver sin side kommer x → 1,9 eller at x → 2,1 tættere på 2

Mit spørgsmål er, er det rigtig forstået ?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
01. juni 2022 af Soeffi

#0. Funktionen g er bestemt ved
$g(x)=\frac{x^2+x-6}{x^2-4}$

Bestem:

$a)\; \lim_{x\rightarrow 0}g(x)$

$b)\; \lim_{x\rightarrow 1}g(x)$

$c)\; \lim_{x\rightarrow 2}g(x)$

Benyt omskrivningen:

$g(x)=\frac{x^2+x-6}{x^2-4}=\frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+3}{x+2},\;x\neq \pm 2$

Brugbart svar (1)

Svar #2
01. juni 2022 af peter lind

Nej. Du kan ikke bare sætte et tal ind som nær grænseværdien. Det kan jo være at den opfører sig anderledes nær 0.

Du kan omskrive brøke

(x²+x-6)/(x²-4) = (x-2)(x+3)/[ (x-2)(x+3) = (x+3)/(x+2) for x ≠2

Efter omskrivningen kan du se at g(x) -> 3/2 for x ->2

Svar #3
01. juni 2022 af ca10

I facitlisten er svaret

x²+ x -6 5

g ( x ) = --------------- , når x → 2 så bliver g ( x ) = ------- , x → 2

x² - 4 lim → 2 4

Soeffi benytter omskrivningen

x² + x - 6 ( x - 2 )( x +3 ) x + 3

g(x) = ---------------- = ----------------------- = ------------ = ?, x er ikke lig med +/- 2

x² - 4 ( x - 2 )( x + 2 ) x + 2

Peter Lind kommer efter omskrivningen frem at man kan se at g( x ) → 3/2 for x → 2

Hvordan passer det med facitlistens svar der er:

x² + x - 6 5

g ( x ) = --------------- , når x → 2 så bliver g ( x ) = ------- , x → 2

x² - 4 lim → 2 4

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #4
01. juni 2022 af Soeffi

#3. c) Grænseværdien findes ved at indsætte x = 2 i den reducerede form af funktionsforskriften:

$\lim_{x\rightarrow 2}g(x)=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x+3}{x+2}=\frac{2+3}{2+2}=\frac{5}{4}$

Svar #5
01. juni 2022 af ca10

Tak for svaret

Du skriver i #1 at x ikke er lig med +/- 2, grænseværdien findes ved at indsætte x = 2 i den reducerede form for forskriften:

x² + x - 6 ( x - 2 )( x +3 ) 2 + 3 5

g(x) = ---------------- = ----------------------- = ------------ = -------

x² - 4 ( x - 2 )( x + 2 ) 2 + 2 4

Svar #6
02. juni 2022 af ca10

Tak for svaret

Brugbart svar (1)

Svar #7
02. juni 2022 af Soeffi

#5. Lad os sige, at du har to funktioner f og g:

$f(x)=\frac{x+3}{x+2},x\in R \backslash \{-2\}$

$g(x)=\frac{x-2}{x-2}\cdot f(x)=\frac{x^2+x-6}{x^4-4},x\in R \backslash \{-2,2\}$

Det ses umiddelbart at f og er ens på nær for x = 2, hvor f(2) = 5/4 og g(2) Ikke er defineret. Det gælder derfor, at:

$\lim_{x\rightarrow 2}g(x)=f(2)=\frac{5}{4}$

Grafen for g er vist nedenunder. Steder hvor g ikke er defineret er vist med rødt.

Vedhæftet fil:graf.png

Svar #8
02. juni 2022 af ca10

Tak for svaret

De næste opgaver jeg skal igang med er opgaverne 803, 804 og 805, og det bliver sikkert nødvendigt at stille spørgsmål til især opgaverne 804 og 805, men det vender jeg tilbage til.

Brugbart svar (1)

Svar #9
02. juni 2022 af Soeffi

#7. Du kan lave samme nummer med alle de funktioner, som du har lyst til. Lad os f.eks. sige, at f(x) = e^x, og at du gerne vil have en funktion, der er mage til bare med et "hul på grafen" for x = 1. Du definerer så funktionen g(x) = f(x)·(x-1)/(x-1) = (x-1)·e^x/(x-1) og får det ønskede.

Svar #10
02. juni 2022 af ca10

Tak for svaret

Skriv et svar til: Funktioners grænseopførsel, Opgave 802, Side 235, HF-Tilvalg ( IB Axelsen m.fl)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.