Matematik

Bestem den afledede, arctanh'.

04. juni 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP,

Jeg har følgende spørgsmål:

Funktionen $artanh:(-1,1)\rightarrow\mathbb{R}$ er givet ved udtrykket:

$Artanh(x)=\frac{1}{2}log(\frac{1+x}{1-x})$

Bestem den afledede Artanh', og konkluder at formlen:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n-1}}{x-\frac{1}{2}}=2\cdot Artanh(x)$

gælder for alle $x\in(-1,1)$ .

Jeg er lidt forvirret omkring hvordan man ønsker jeg løser opgave.

Jeg har selv en idé om at bruce-force differentierer $\frac{1}{2}log(\frac{1+x}{1-x})$ , derefter må jeg få noget som minder om en geometrisk sum, som jeg så kan gange 2 på ud fra regnereglerne om ledvis manipulation.

Er der nogle der har nogle bedre idéer? eller?

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. juni 2022 af oppenede

$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n-1}}{x-\frac{1}{2}}=2\cdot Artanh(x)$ passer ikke

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. juni 2022 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllllll}&& \tanh^{-1}\left ( x \right )=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \frac{1+x}{1-x} \right ),\quad -1<x<1\\\\\\ \textup{Hvis du har:}\\&& \tanh^{-1}\left ( u \right )=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \frac{1+u}{1-u} \right ),\quad -1<u(x)<1 \\\\&& \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \frac{1+u}{1-u} \right ) \right )=\frac{1}{2}\cdot \frac{1-u}{1+u}\cdot \left ( \frac{1\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\cdot (1-u)-(1+u)\cdot (-1)\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}}{(1-u)^2} \right )=\\\\&& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+u}\cdot \left ( \frac{2}{1-u} \right )\cdot\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{1-u^2}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x},\quad u\neq0 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. juni 2022 af mathon

editering:

$\small \small \small \small \begin{array}{lllllll}&& \tanh^{-1}\left ( x \right )=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \frac{1+x}{1-x} \right ),\quad -1<x<1\\\\\\ \textup{Hvis du har:}\\&& \tanh^{-1}\left ( u \right )=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \frac{1+u}{1-u} \right ),\quad -1<u(x)<1 \\\\&& \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \frac{1+u}{1-u} \right ) \right )=\frac{1}{2}\cdot \frac{1-u}{1+u}\cdot \left ( \frac{1\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\cdot (1-u)-(1+u)\cdot (-1)\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}}{(1-u)^2} \right ),\quad x\neq 1=\\\\&& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+u}\cdot \left ( \frac{2}{1-u} \right )\cdot\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{1-u^2}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x},\quad u\neq0 \end{array}$

Svar #4
04. juni 2022 af louisesørensen2

Tak, mathon!

Skriv et svar til: Bestem den afledede, arctanh'.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.