Hvordan kan et polynomium uden rødder faktoropløses?

#0 Ka' du mon indsætte et billede af det du har læst?

Sådan et polynomium kan kun faktoropløses hvis man bruger komplekse tal. Hvis man bruger komplekse tal kan det altid faktoropløses.

Eksempel: x²+1 kan opløses som (x+i)(x-2), hvor i er et rent kompleks tal i = √-1

x²+1 = (x-i)(x+i)

Man kan faktorisere polynomiet i komplekse tal og så parre de rødder sammen, der er kompekst konjugerede. De to rødder har formen a+ib og a-ib, så man får (x-a-ib)(x-a+ib)= x² - (2a -b+b)x + a²+b² = x² -2ax +a²+b²

Det kan man gøre med alle parene og dermed faktorisere polynomiet.

Spørgsmålet er angiveligt at skulle faktorisere et polynomium uden reelle rødder i polynomiumsfaktorer.
Lad f.eks. 4'gr's polynomiet, uden reelle rødder
x⁴ + 2x² + x + 2
faktorisere i 2'gr's polynomier.
Da vi med polynomiers division ikke har en rodfaktor at dividere med, må vi gå andre veje.
Lad derfor de to søgte 2'gr's polynomier hedde
a₁x² + b₁x + c₁    og
a₂x² + b₂x + c₂
Deres produkt hedder så
a₁a₂x⁴ + (a₁b₂ + a₂b₁)x³ + (a₁c₂ + a₂c₁ + b₁b₂)x² + (b₁c₂ + b₂c₁)x + c₁c₂
Ved koefficientsammenligning finder vi, med lidt fingerfærdighed, frem til de to søgte 2'gr's polynomier
(x² + x + 1)(x² - x + 2)
som naturligvis heller ikke har reelle rødder.