Matematik
Bestemmelse af grænseværdi, HF-tilvalg, side 122 og 130-131 (Ib Axelsen m.fl)
I bogen gives der to eksempler på funktioner hvor der, ses om de har én grænseværdi, som jeg ikke syntes er særligt forståelig. Først gennemgås bogens to eksempler, derefter kommer mit spørgsmål.
Eksempel 1 side 122 står der:
Man kan komme ud for, at forskellige følger af x-er får funktionsværdierne til at nærme sig forskellige tal. Dette er for eksempel tilfældet for funktionen
f ( x ) = 2 + x • √( 1 + 1 / x2 )
Vi kan lade x nærme sig 0 gennem to forskellige følger
x f ( x ) x f ( x )
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 3,4142136 -1 0,5857864
0,1 3,0049876 -0,1 0,9950124
0,01 3,0000500 -0,001 0,9999500
. . . .
. . . .
. . . .
0 3 0 1
Den ene x-følge får funtionsværdierne til at nærme sig 3, mens den anden får funktionsværdierne til at nærme sig1. I sådan en situation vil man ikke sige, at f ( x ) går mod noget, når x går mod 0.
Side 130 fortsættes eksemplet således:
Vi har tidligere set på funktionen f ( x ) = 2 + x • √( 1 + 1 / x2 ) , hvor en følge af positive x´er, der nærmede sig 3, mens en følge af negative x´er, som nærmede sig 0, gav funktionsværdier, der nærmede sig 1.
(I bogen er der er indtegnet, hvordan grafen i nærheden af 0 se ud ( Jeg kan ikke vedhæfte et billed af tegningen).
Vi vil sige, at f ( x ) har grænseværdien 3, når x går mod 0 fra højre, og skrive
f ( x ) → 3 når x → 0+
eller lim f ( x ) = 3
x → 0+
Tilsvarende siger vi, at f ( x ) her grænseværdien 1, når x går mod 0 fra venstre, og skrive
f ( x ) → 1 når x → 0-
eller lim f ( x ) = 1
x → 0-
Eksempel 2 side 131 står der:
Funktionen f er bestemt ved (I bogen er grafen for funktionen indtegnet, jeg kan ikke vedhæfte et billed af tegningen)
x + 3 for x < 1
f ( x ) = {
2x +1 for x > 1
Vi ser, at
lim f ( x ) = lim ( x + 3 ) = 1 + 3 = 4
x → 1-
lim f ( x ) = lim ( 2x + 1 ) = 2 + 1 = 3
x → 1+
Funktionen f i eksemplet ovenfor har ikke grænseværdi i 1, da grænseværdierne fra venstre og fra højre er forskellige. En funktion har grænseværdi i et tal, netop når grænseværdien fra venstre og højre er ens.
Mit spørgsmål er, hvordan kan det være at i det første eksempel har funktionen har grænseværdien 3, når x går mod 0 fra højre og ligeledes har grænseværdien 1, når x går mod 0 fra venstre.
Men i det andet eksempel har funktionen ikke grænseværdi i 1, da grænseværdierne fra venstre og fra højre er forskellige.
I begge eksempler er grænseværdierne fra venstre og fra højre jo forskellige, så hvordan kan det være at der er den forskel på bestemmelse af grænsværdierne af de to funktioner ?
På forhånd tak
Svar #1
14. juni 2022 af SuneChr
Funktionen f er i virkeligheden en amputeret hyperbel med forskriften (y - 2)2 - x2 = 1
Den nedre gren har sit toppunkt i (0 , 1) og den øvre gren sit toppunkt i (0 , 3) .
Tak for svaret
Hvad mener du med at det er en amputeret hyperbel for i bogen er graferne tegnet som rette linjer.
På forhånd tak
Svar #3
14. juni 2022 af SuneChr
Det er ikke rette linjer, da funktionen ikke er lineær.
Grafens to dele er delmængder af hyperblen som tidligere nævnt, og grafen har en fælles skrå asymptote.
Funktionen er ikke defineret for x = 0 (og ej heller kontinuert der).
Værdimængden er { y | y ∈ R \ [1 ; 3] }
Tak for svaret
Problemet er at jeg kan se hvorfor at i eksempel 1 har funtionen
f ( x ) har grænseværdien 3, når x går mod 0 fra højre, og skrive
f ( x ) → 3 når x → 0+
eller lim f ( x ) = 3
x → 0+
f ( x ) har grænseværdien 1, når x går mod 0 fra venstre
f ( x ) → 1 når x → 0-
eller lim f ( x ) = 1
x → 0-
En funktion har grænseværdi i et tal, netop når grænseværdien fra venstre og højre er ens og i eksempel 1, er grænseværdien fra venstre og højre jo ikke ens.
I eksempel 2
Funktionen f er bestemt ved
x + 3 for x < 1
f ( x ) = {
2x +1 for x > 1
Vi ser, at
lim f ( x ) = lim ( x + 3 ) = 1 + 3 = 4
x → 1-
lim f ( x ) = lim ( 2x + 1 ) = 2 + 1 = 3
x → 1+
Funktionen f i eksempel 2 har i følge bogen ikke grænseværdi i 1, da grænseværdierne fra venstre og fra højre er forskellige.
Lad mig gentage mit spørgsmål, hvordan kan det være at i eksempel 1 har funktionen har grænseværdien 3, når x går mod 0 fra højre og ligeledes har grænseværdien 1, når x går mod 0 fra venstre.
Men i eksempel 2 har funktionen ikke grænseværdi i 1, da grænseværdierne fra venstre og fra højre er forskellige.
I begge eksempler er grænseværdierne fra venstre og fra højre jo forskellige, så hvordan kan det være at der er den forskel på bestemmelse af grænsværdierne af de to funktioner ?
Er der nogen på studieportalen der kan forklare hvad forskellen på bestemmelse af grænseværedien for de forskellige funktioner består i.
På forhånd tak
Skriv et svar til: Bestemmelse af grænseværdi, HF-tilvalg, side 122 og 130-131 (Ib Axelsen m.fl)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.