Beregning af dimensioner for dodecahedron

Start Geogebra.
Lav et flytbart centrum, Ce, for den underste flade.

Lav så en cirkel med centrum i Ce og radius = 161.
Lav det første hjørnepunkt, A, dér hvor cirklen skærer y-Aksen.
Lav næste hjørnepunkt, B, ved at dreje A det nødvendige antal grader.

Det var i hvert fald starten. Så er det bare om at lave det til en polygon, og dreje denne polygon en passende vinkel omkring hver af dens  5 kanter.

Jeg siger ikke noget om, hvor stor vinklen skal være.     :-)

Dodekaedret med centrum i (0,0,0) har sine 20 vertexpunkter i

(±1, ±1, ±1) (0, ±1/φ, ±φ) (±1/φ, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1/φ)

hvor φ = (1 + √5) / 2 er det gyldne snit, og vinklen v mellem to nabo-sideflader er bestemt ved

v = 2·tan^-1φ

Følgende krav skal opfyldes:

- To af de parallelle flader skal have en afstand på 290mm. (kalder dem flade nr. 1 og nr. 2) Disse to femkanter skal have samme sidelængder

- Hver af de to parallelle flader skal have en radius på 161mm fra centrum til vinkel/hjørne af femkanten

- De resterende 10 (nr. 3 til nr. 10) femkanter skal have en indre vinkel mellem flade nr. 1 og nr. 2 på 100 grader. Disse femkanter skal alle være ens med en vinkelsum på 540 grader, men skal selvfølgelig ikke have samme sidelængder. 

Herved skal vi bruge noget hjælp til at udregner dimensionerne til de resterende 10 femkanter, således at alle 12 femkanter passer sammen i en dodechedron ligende figur, hvor de nævnte krav opfyldes

Hvis der er tale om et platonisk polyeder (det hedder det på dansk), er denne oplysning tilstrækkelig til at fastlægge alle andre mål. Et platonisk polyeder er kendetegnet ved at alle sider er ens regulære polygoner, der danner samme vinkler med nabosiderne.

Kravet om at femkanterne skal have en vinkelsum på 540 grader er besynderligt. En plan femkant har altid en vinkelsum på 540 grader ligesom vinkelsummen i en trekant er 180 grader.

Opgaven er ikke i orden, som den er formuleret. Den kan faktisk ikke løses.

Vi kan, med ét af kravene opfyldt

- afstand mellem to parallelle flader
- radius i indskrevne kugle
- radius i omskrevne kugle
- areal af sideflade eller af hele legemet
- rumfang af legemet

bestemme dodekaedrets kantlængde.

Siderne på et spilledodekaeder kan systematisk nummereres, f.eks.
1 opad, 2, 3, 4, 5, 6 i urets retning          og
7 opad, 8, 9, 10, 11, 12 i urets retning
Eller hvor summen af de modstående sider er 13:
  1   2   3  4  5  6
12 11 10  9  8  7

#4 se https://en.wikipedia.org/wiki/Dodecahedron

Du forudsætter nok en regulær dodecahedron

#6 Det står der i #0, første linie, at det er.

Det er antageligt, at trådstarter og vennen i deres iver for at konstruere et tolvsidet legeme med ønskelige
dimensioner, såvel i længde som i vinkel, i god tro, tyr til modellen af det regulære dodekaeder.
      Men, citat fra # 0 :
"Herved skal vi bruge noget hjælp til at udregner dimensionerne til de resterende 10 femkanter, således at alle 12 femkanter passer sammen i en dodechedron ligende figur, hvor de nævnte krav opfyldes"
      tyder dog ikke på det regulære legeme.