Matematik

Rækker

25. maj 2023 af Owaltz - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg sidder med en opgave og er meget i tvivl om hvordan jeg skal gribe den an:

Betragt følgende række

$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{a\cdot n+b}}{(a\cdot n+b)^n}, a,b>0$

a) Lad a≠1. Bestem alle a,b>0 hvor rækken er konvergent.

b) Lad a=1. Bestem alle b>0, hvor rækken er konvergent.

I opg a) tænkte jeg at bruge rodtesten, og får at for a>1 er den divergent og for a<1 er den konvergent mod 0. Men jeg er helt blank på opg b)

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. maj 2023 af oppenede

Den er divergent for b=0, da det giver Σ_n1.

Den afledede af det n'te led (mht. b) er
$n^{b+n} (b+n)^{-n-1} ((b+n)\log(n)-n)$
Hvor alle 3 faktorer er større end 0, hvis bare log(n) > 0 <=> n > e.

Dvs. for alle n > e er hvert led større for b>0 end b=0, hvilket medfører divergens for b>0, da b=0 var divergent.

Skriv et svar til: Rækker

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.