Matematik

Vektorfunktioner

20. juli 2023 af cecilie1606 - Niveau: A-niveau

Hej

Er der nogle som kan hjælpe med denne opgave - jeg har løst nr. 1 i opgaven, men kan simpelthen ikke komme videre derfra.

På forhånd tak for hjælpen.

Vedhæftet fil: Opgave 3.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. juli 2023 af M2023

#0. Jeg indsætter billedet:

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. juli 2023 af peter lind

2. |v(t)| = kvrod( v_x^₂+v_y²)

3. brug 2 eller nemmere v²' = 0

4. Brug formlen i opgaven

Svar #3
21. juli 2023 af cecilie1606

Jeg beklager virkelig, men jeg er simpelthen ikke med.
Er der mulighed for, at jeg kan få en lidt mere uddybende forklaring?

Brugbart svar (1)

Svar #4
21. juli 2023 af ringstedLC

1. Bilen bevæger sig positivt i y-retningen.

2. Længden af hastighedsvektoren til tiden "0":

$\begin{align*} \vec{\,v}\,(t)=OP_t\,' &= \binom{2\cdot 30\,\pi \bigl(-\sin(30\,\pi\,t)\bigr)}{60\,\pi\,\cos(60\,\pi\,t)} \\ v_0=\left |\vec{\,v}\,(0) \right | &= \sqrt{\bigl(-60\,\pi\,\sin(30\,\pi\cdot 0)\bigr)^2+\bigl(60\,\pi\,\cos(60\,\pi\cdot 0)\bigr)^2} \\ v_0 &= ...\,\left (\tfrac{\textup{km}}{\textup{h}} \right ) \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
21. juli 2023 af MentorMath

Se vedhæftet billede :)

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2023-07-21 031432.jpg

Svar #6
21. juli 2023 af cecilie1606

#2
2. |v(t)| = kvrod( v_x^₂+v_y²)

3. brug 2 eller nemmere v²' = 0

4. Brug formlen i opgaven

Okay tak, men jeg er ikke med på hvad du mener med opgave 3?

Svar #7
21. juli 2023 af cecilie1606

#5
#0

Se vedhæftet billede :)

Mange tak for svar :)

Svar #8
21. juli 2023 af cecilie1606

Er det rigtigt forstået ift. opgave 4?

Vedhæftet fil:Opgave 4.png

Brugbart svar (1)

Svar #9
21. juli 2023 af ringstedLC

Nej. Du ved kun, at:

$\begin{align*} \bigl|\vec{v}\,(start)\bigr| &= 188.5\;\left ( \tfrac{\textup{km}}{\textup{h}} \right ) \end{align*}$

altså farten på et bestemt sted på banen. Ved kun at integrere én fart, kunne man istedet "bare" beregne:

$\begin{align*} v=\frac{s}{t}\Rightarrow s &= v\cdot t \\ s &= 188.5\left ( \tfrac{\textup{km}}{\textup{h}} \right )\cdot \tfrac{1}{15}\,(\textup{h}) \\ s &= 12.5{\color{Red} 7}\,(\textup{km}) \end{align*}$

Men da farten ikke er konstant, må hastighedsfunktionen integreres over en hel omgang (1/15 ≈ 4 min.):

$\begin{align*} s _{bane} &= \int_{0}^{\frac{1}{15}}\bigl|\vec{v}\,(t)\bigr|\,\mathrm{d}t \\ &= \int_{0}^{\frac{1}{15}}\sqrt{{x_v}^2+{y_v}^2}\,\mathrm{d}t &&,\,\left\{\begin{matrix} x_v &= -\sin(30\,\pi\,t)\cdot 60\,\pi \\ y_v &= \cos(60\,\pi\,t)\cdot 60\,\pi \end{matrix}\right. \\ s_{bane} &\approx 12.19 \;\left (\textup{km} \right ) \end{align*}$

Det giver næsten det samme, men tænk nu hvis du havde fundet farten i et af de skarpe sving og brugt den. Forskellen ligger i, at du bruger en (tilfældig) fart som gennemsnitsfart og ganger med omgangstiden:

Svar #10
21. juli 2023 af cecilie1606

Okay, mange tak for svar:)
Hvad med opgave 3?
Kan simpelthen ikke lige greje den.

Brugbart svar (0)

Svar #11
21. juli 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllllll} \textup{Define }\overrightarrow{v}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -60\pi\cdot \sin\left ( 30\pi\cdot t \right )\\60\pi\cdot \cos\left ( 60\pi\cdot t \right ) \end{pmatrix} \end{array}$

$\small \small \small \begin{array}{llllllll}\textbf{3.}\\&& \textup{Define }\overrightarrow{v}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -60\pi\cdot \sin\left ( 30\pi\cdot t \right )\\60\pi\cdot \cos\left ( 60\pi\cdot t \right ) \end{pmatrix}\\\\&& \textup{Define }\overrightarrow{a}(t)=\frac{\mathrm{d^2}\overrightarrow{r}(t) }{\mathrm{d} t^2}=\begin{pmatrix} -1800\pi^2\cdot \cos\left ( 30\pi \cdot t \right )\\ -3600\pi^2\cdot \sin(60\pi\cdot t) \end{pmatrix}\\\\ &\textup{St\o rste fart,}\\& \textup{n\aa r }&\left |\overrightarrow{a}(t) \right |=0\\\\&& \textup{solve}\left ( \textup{norm}\left ( \overrightarrow{a}(t) \right )=0,t \right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #12
21. juli 2023 af peter lind

#6 Du har at v(t) = (-60π*sin(30πt), 60π*cos(60π*t) )

Så er v² = (-60π*sin(30πt) )² + (60π*cos(60π*t))²

Differentier dette udtryk og sæt det lig 0. Derefter løser du den fremkomne ligning

Svar #13
22. juli 2023 af cecilie1606

#11
$\small \begin{array}{llllllll} \textup{Define }\overrightarrow{v}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -60\pi\cdot \sin\left ( 30\pi\cdot t \right )\\60\pi\cdot \cos\left ( 60\pi\cdot t \right ) \end{pmatrix} \end{array}$

$\small \small \small \begin{array}{llllllll}\textbf{3.}\\&& \textup{Define }\overrightarrow{v}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -60\pi\cdot \sin\left ( 30\pi\cdot t \right )\\60\pi\cdot \cos\left ( 60\pi\cdot t \right ) \end{pmatrix}\\\\&& \textup{Define }\overrightarrow{a}(t)=\frac{\mathrm{d^2}\overrightarrow{r}(t) }{\mathrm{d} t^2}=\begin{pmatrix} -1800\pi^2\cdot \cos\left ( 30\pi \cdot t \right )\\ -3600\pi^2\cdot \sin(60\pi\cdot t) \end{pmatrix}\\\\ &\textup{St\o rste fart,}\\& \textup{n\aa r }&\left |\overrightarrow{a}(t) \right |=0\\\\&& \textup{solve}\left ( \textup{norm}\left ( \overrightarrow{a}(t) \right )=0,t \right ) \end{array}$

Jeg får dette her resultat, men synes ikke rigtigt det ser rigtigt ud?

Vedhæftet fil:Opgave 3.png

Brugbart svar (1)

Svar #14
22. juli 2023 af ringstedLC

Det er rigtigt.

Det tager 4. minutter at køre en omgang. Det vil sige, at der køres en kvart omgang på 1/60 time.

Banen er symmetrisk og består af fire lige "hurtige" dele. Der startes i (2,0) hvor t = 0. Efter et minut må bilen være i (0,0), altså midt på banens længste lige strækning. Her acc. = 0 og farten derfor størst. To minutter senere er bilen igen i (0,0) med topfart, osv

Husk at bestemme topfarten!

Svar #15
22. juli 2023 af cecilie1606

#14
Det er rigtigt.

Det tager 4. minutter at køre en omgang. Det vil sige, at der køres en kvart omgang på 1/60 time.

Banen er symmetrisk og består af fire lige "hurtige" dele. Der startes i (2,0) hvor t = 0. Efter et minut må bilen være i (0,0), altså midt på banens længste lige strækning. Her acc. = 0 og farten derfor størst. To minutter senere er bilen igen i (0,0) med topfart, osv

Husk at bestemme topfarten!

Okay, tak for svar.

Men hvordan bestemmer jeg topfarten?

Brugbart svar (0)

Svar #16
22. juli 2023 af ringstedLC

Du fandt begyndelseshastigheden i 2. som længden af stedvektoren til t = 0:

$\begin{align*} \textup{Begyndelsesfart}:\bigl|\vec{v}\,(0)\bigr| &= \bigl|\overrightarrow{OP_t}\,'(0)\bigr|= 188.5\left ( \tfrac{\textup{km}}{\textup{h}} \right ) \\ \textup{Topfart}:\bigl|\vec{v}\left(\tfrac{1}{60}\right)\bigr| &= ... \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #17
22. juli 2023 af M2023

#0. Angående ekstremumspunkter for farten, spørgsmål 3). Nedenfor er vist en graf for banen og farten. Den viser fem sammenhørende punkter mellem r(t) og v(t) for første halvdel af banen. Vær opmærksom på, at |a(t)| ikke er lig |v(t)|'. Det er sidstnævnte, som man bruger for at finde max-fart, men i dette tilflælde kan også bruges |a(t)| = 0.

Vedhæftet fil:bane.png

Brugbart svar (0)

Svar #18
22. juli 2023 af ringstedLC

#16
Du fandt begyndelseshastigheden i 2. som længden af stedvektoren til t = 0:

som længden af hastighedsvektoren...

Brugbart svar (0)

Svar #19
22. juli 2023 af M2023

#17. Maksimum forekommer for t = n/60 sek., hvor n = 0, 1, 2, 3 og 4. Globalt maksimum for t = 1/60 sek. og t = 1/20 sek.

$\\|v(\tfrac{1}{60})|=\sqrt{(-60\cdot \pi \cdot sin(30\cdot \pi\cdot \tfrac{1}{60}))^2+(60\cdot \pi \cdot cos(60\cdot \pi\cdot \tfrac{1}{60}))^2}=\\\\\sqrt{2}\cdot 60\cdot \pi \approx 267$

Brugbart svar (0)

Svar #20
22. juli 2023 af M2023

#17. Rettelse:
#0...Den viser fem sammenhørende punkter mellem r(t) og |v(t)| for første halvdel af banen...

Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.