Matematik

Kritisk punkt

17. januar 2024 af Physics101 - Niveau: Universitet/Videregående

f(x,y)=7(x² +y² +x+y+xy).

Det oplyses at f har præcis ét kritisk punkt (x₀, y₀). Bestem (x₀ y₀),

(x0, y0) = −1/(?) (1, 1).

Indsæt svaret på (?)'s plads.

Hvordan løser jeg opgaven?

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. januar 2024 af jl9

De to partiel afledte af f skal begge give 0

Svar #2
17. januar 2024 af Physics101

Jeg er ikke sikker på om jeg gjorde det rigtigt - men jeg fik det samme som facit.

Jeg bliver også bedt om at lade (x₀, y₀) være det kritiske punkt for f.
og så at vise at (x₀, y₀) er et lokalt minimums punkt.

Hvordan kan jeg se/vise at det er et lokalt minimumspunkt?

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. januar 2024 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} && f(x,y)=7\left ( x^2+y^2+x+y+x\cdot y \right )\\\\&& \frac{\partial f}{\partial x}=7\left ( 2x+y+1 \right )\\\\&& \frac{\partial f}{\partial y}=7\left ( 2y+x+1 \right )\\\\& \textup{Kritisk punkt:}\\&&\textup{solve}\left ( \left\{\begin{matrix}7\left ( 2x+y+1 \right )=0\\&,\left \{ x,y \right \}\\7\left ( 2y+x+1 \right )=0 \end{matrix} \right.\right ) \end{}$

Svar #4
17. januar 2024 af Physics101

Jeg får y=-1 og x=-3
er det så ikke noget med - foran så -(-1/-3)=-1/3
?

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. januar 2024 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll} \textup{For lokalt minimum}\\\textup{skal g\ae lde:}\\& \textbf{1)}\qquad \frac{\partial^2 }{\partial x^2}\left ( f(x_o,y_o) \right )>0\\\\& \textbf{2)}\qquad \frac{\partial^2 }{\partial x^2}\left ( f\left (x_o,y_o \right ) \right )\cdot \frac{\partial ^2 }{\partial y^2}f(x_o,y_o)-\left (\frac{\partial ^2 }{\partial x\partial y}f(x_o,y_o) \right )^2>0 \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. januar 2024 af mathon

$\small \left ( x_o,y_o \right )=\left ( -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right )$

Svar #7
17. januar 2024 af Physics101

Den sidste del af opgaven lyder:

Lad (u₀ v₀) betegne det punkt, hvor f antager sit globale maksimum på mængden [0, 20] × [0, 20].

Angiv v₀

Hvordan gør jeg det?

Brugbart svar (0)

Svar #8
17. januar 2024 af mathon

$\small \textup{Da }f(x,y)\textup{ i }\left [ 0,20 \right ]\times \left [ 0,20 \right ]\textup{ er voksende b\aa de i x og y: }$

$\small f_{\textup{max}}=f\left ( 20,20 \right )$

Svar #9
17. januar 2024 af Physics101

Tak for svarende.

Skriv et svar til: Kritisk punkt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.