Matematik
Lemma, korollar, proposition - Inddeling af matematiske sætninger
Hej!
Sommerferien lakker så småt mod sin ende. I den forbindelse er jeg gået i gang med at genopfriske, visse, emner, fra det foregående studieår.
I denne sammenhæng, er jeg blevet i tvivl om noget, fra den allerførste tid på studiet; netop spørgmålet, hvordan de forskellige sætninger, 'lemmaer', 'korollarer' og 'propositioner' er defineret samt hvad der, om man så må sige, adskiller dem.
Jeg er klar over, at spørgsmålet givetvis er ganske elementært, men jeg synes alligevel, at der er noget uklart over, hvornår en given sætning hører under hvilke af de overstående inddelinger.
Af hvad jeg kan finde i mine bøger, er der ikke givet nogen egentlig definition -eller forklaring på forskellen mellem begreberne, lemma, korollar og proposition.
Så vidt jeg har kunne læse mig frem til på DenStoreDanske og Wikipedia, er et lemma en hjælpesætning eller en sætning der indgår som led i en større sætning (fra Wikipedia en sætning af mindre betydning).
Mit spørgsmål, her, går på, hvorvidt det ikke er muligt, at definere det mere stringent? Hvis ikke det er muligt at komme nærmere, går mine undringer på to ting; 1) hvilke betingelser eller fællestræk skal gøre sig gældende, hvis en sætning skal være/siges at være et lemma - anset på den måde, at alle lemmaer vel også er sætninger/teoremer?
2) hvornår en sætning er "af mindre betydning" - og hvad der lægges i dette. Som jeg ser det/forstår det, er alle sætninger vel, i et eller andet omfang, alle vigtige, i udledningen af andre sætninger/teoremer.
Dette leder lidt mit spørgsmål frem til det næste; netop hvordan begreberne korollar og proposition skal betragtes/anskues. I følge Wikipedia: "(Proposition – et resultat af mindre vigtighed end en sætning, som ikke står i umiddelbar forbindelse til en "sætning")". Her finder jeg det også uklart, hvad der helt præcist menes, idet alle sætninger vel, i sidste ende, står i en relation til hinanden.
Jeg ved ikke, hvorvidt jeg har overkompliceret det, eller gjort det mere dybsindigt end nødvendigt - eller hvorvidt navnene, udelukkende er til for at kunne inddele sætningerne i mindre grupper, for bekvemmelighedens skyld. I al fald, virker det en smule tåget.
Uanset hvad, synes jeg alligevel at det er vigtigt at forstå mere dybdegående, hvis det er grundlæggende for den videre matematik.
PS: Umiddelbart er det klart adskilt, hvornår en sætning er en hovedsætning, så hertil har jeg ikke nogen spørgsmål.
PS: Jeg sidder ikke med en konkret opgave - dette er udelukkende for min egen forståelses skyld.
Svar #1
26. juli kl. 06:06 af Sveppalyf
Lemma: Hjælpesætning som man bruger i et bevis for en anden sætning, men som ellers ikke er interessant.
Korollar: Følgesætning. En sætning som følger umiddelbart af en anden sætning. ( Corollarium betyder "gave" på latin.) Et eksempel kunne være at når du har cosinusrelationen c2 = a2 + b2 - 2ab*cos(C), så har du med det samme også Pythagoras' sætning for en retvinklet trekant ved at sætte C = 90o.
Proposition: En helt generel betegnelse for et udsagn som enten er sandt eller falsk.
Svar #2
26. juli kl. 15:04 af MentorMath
Mange tak for svaret!
Det er klart nu, hvordan en korollar skal forstås, efter at have set eksemplet :))
Angående lemmaet, er det stadig en smule tåget, men det er nok mere et spørgsmål om, så, at jeg blot skal acceptere, at der ikke er en distinkt adskillelse af et lemma og en sætning? Med andre ord, det vil ikke være forkert "bare" at kalde et lemma for en sætning?
Jeg beklager hvis spørgsmålet er lidt rodet formuleret - jeg tror, at jeg har stirret mig lidt blind på terminologien og overkompliceret det en del.
"Proposition: En helt generel betegnelse for et udsagn som enten er sandt eller falsk"
Men er dette ikke gældende for sætninger generelt? .. Altså et udsagn, der kan bevises at være sandt (under forudsatte antagelser/aksiomer)?
Svar #3
26. juli kl. 18:02 af Sveppalyf
Lemma er en lille hjælpesætning man bruger specifikt i beviset for en anden sætning og som ellers ikke bruges i andre sammenhænge. Altså noget man bruger når man har et stort og kompliceret bevis som man gerne vil dele op i mindre bidder.
"Proposition" synes jeg ikke rigtig er et ord man støder på på dansk? På engelsk bruges det vist bare som en bred betegnelse for det vi på dansk kalder en "sætning". Hvis det er noget som har en vis vigtighed, så vil man på engelsk ophøje det til at være et "theorem".
Jeg fandt en diskussion om emnet og morede mig over denne kommentar:
https://mathoverflow.net/questions/18352/theorem-versus-proposition
Svar #4
26. juli kl. 19:22 af MentorMath
Mange tak - og for det hurtigste svar, endnu engang.
"Lemma er en lille hjælpesætning man bruger specifikt i beviset for en anden sætning og som ellers ikke bruges i andre sammenhænge. Altså noget man bruger når man har et stort og kompliceret bevis som man gerne vil dele op i mindre bidder."
Dejligt at få på plads! Nu er jeg helt med.
"Proposition" synes jeg ikke rigtig er et ord man støder på på dansk?
Jeg beklager - det burde jeg måske have nævnt. Forelæseren der underviser på kurset kommer ikke oprindeligt fra Danmark, så undervisningen og alle forelæsninger foregår på dansk, mens tekstmaterialet er udformet på engelsk. Det er muligvis derfor, vil jeg tro, at han har (gen)brugt betegnelsen "proposition" på dansk, da betegnelsen proposition, på engelsk, er brugt mange steder i tekstmaterialet.
"If you are proud of a result, call it a Theorem. If not, it is a Proposition".
Ah, hvor er det godt! Den vil jeg huske på ,:)
Skriv et svar til: Lemma, korollar, proposition - Inddeling af matematiske sætninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.