differentialkvotienten og kæde regel

Hej Mullah Samir 

Det var mange spørgsmål på en gang. Kan du eventuelt specificere hvad du har fundet frem til og hvor præcis du støder på problemer?

Hej igen,

Jeg er faktisk lidt i tvivl hvad der menes med den sidste sætning. Har du måske i stedet mulighed for at vehæfte selve spørgsmålet (f.eks som et bilag)? 

Hvis du blot har citeret det som din lærer har givet jer, har din lærer vist haft lidt for travlt.

Der er ikke noget der hedder eksponentielfunktioner, så det er ikke til at vide om der menes eksponentielle funktioner eller eksponentialfunktioner.

Jeg kan dertil ikke se hvad vi skal skal bruge kædereglen og omvendte funktioner til, når vi skal bestemme differentialkvotienten for en potensfunktion.

Det er muligt at vise (e^x)' = e^x og at (ln(x))' = 1/x (= x^-1).

Det vil dog ikke give mening at vise (xⁿ)' = nx^n-1 (hvor n er et naturligt tal), medmindre at I har hørt/haft om induktionsbeviser. Her ville jeg i stedet vælge at vise at (x²)' = 2x.

Du skal i al fald ikke være ked af at du ikke forstår spørgsmålet for det er ikke formuleret tilstækkeligt :)

jeg har lige spurgt ham og han mener eksponentialfunktioner. han sagde dog også at jeg kan bare nøjes med at bestemme de 2 andre og glemme potensfunktion

Okay, nu er jeg med.

Ved eksponentialfunktionen menes der altid e^x. Ved eksponentialfunktioner menes der funktioner på formen a^x (a > 0) og ved ekponentielle funktioner menes der funktioner på formen b·a^x (a, b > 0). 

Vi antager at udsagnet (e^x)' = e^x, er sandt.

Heraf vil vi vise at (a^x)' = a^xln(a), a > 0 (*).

Bevis for (*):

Da e^ln(x) := x (eksponentialfunktionen og logaritmefunktionen er hinandens omvendte funktioner), så får vi at a^x = (_eln(a))^x = e^((ln(a))x) (vi bruger potensregnereglen der "siger" at vi må gange eksponenterne).

Altså fås at:

(a^x)' = (e^((ln(a))x))' = e^((ln(a))x)·((ln(a))x)' = e^((ln(a))x)·ln(a)·1 = e^((ln(a))x)·ln(a).

                    kædereglen 

(Da vi differentierer med hensyn til x er udtrykket ln(a) blot en konstant der er ganget på den variable, x)

Idet vi allerede har argumenteret for at a^x = e^((ln(a))x), så fås at:

(a^x)' = e^((ln(a))x)·ln(a) = a^x·ln(a) (a > 0).

Giver beviset mening så langt, eller har du spørgsmål til noget af det?

Jeg faktisk helt lost hvis du måske ku forklare step by step og hvorfor tingene er som de er

Jeg vil gerne, så vidt det er muligt på skrift, forsøge at forklare det mere dybdegående. 

Giver det mening hvorfor at e^ln(x) := x, er defineret sådan? Eller er det når vi bruger kædereglen at det ikke giver mening/skal uddybes?

begge dele

er det her korrekt? og udfylder den opgaven?

#10 

Angående e^ln(x) := x.

Vi lader f^º-1 betegne den omvendte (inverse) funktion til f.

det giver mening, men er den her fra chatgpt korrekt? og den tidligere vil den så være forkert eller?

#11 

Aritmetikken i det er korrekt.

Formuleringen "brug grænseværdien" er lidt tåget. Vi undersøger hvad der sker når h → 0. Hvis grænseværdien c (vi kunne også bruge k) eksisterer (dvs. hvis brøken nærmer sig netop ét entydigt tal) når h → 0 så er c = f '(x₀).

så hvis jeg bruger den metode så vil jeg udfylde opgave beskrivelsen?

#15

Den udfylder så og sige opgaven lige så godt. Det kræves da blot at du kan argumentere for, hvorfor brøken har grænseværdien ln(a) i grænsestillingen. Det kræver dog ligeledes at du kan redegøre for matematikken i det (ren afskrift giver ingen point).

NB: brug x₀ i stedet for x når du bruger tretrinsmetoden.

x bruges som variabel, mens x₀ bruges om en specifik x-værdi.

kan du forklar hvorfor?

#17

Jeg vil meget gerne forsøge at forklare hvordan det hænger sammen, men forklaringen er ikke helt simpel/intuiativ og derfor mere tidskrævende.

Jeg er desværre knap på tid i øjeblikket, men jeg skal nok vende tilbage med en forklaring :)

#17

Normalt når man undersøger grænseværdier kan man bruge forskellige "tricks" som f.eks at dividere brøken igennem med leddet af den den højst forekommende potens, i både tæller og nævner ..osv.

Jeg har prøvet at kigge på det nu, og jeg synes bestemt ikke at grænseværdien er særlig intuitiv. Så vidt jeg kan se vil vi skulle argumentere for at grænseværdien ser ud som den gør, ved at bruge den samme definition som i #7, nemlig at a^x = e^((ln(a))x) (det kan godt være at der er en mere simpel måde at gøre det på, som jeg ikke er bekendt med endnu). For mig at se kommer det derfor til at virke en smule redundant.

Har din lærer bedt jer om, at I speifikt skal vise det ved tretrinsmetoden -og at I altså ikke må vise det ved at bruge antagelsen at

(e^x)' = e^x (som vist #7)? 

ja vi må kun bruge kædereglen