Fysik

Sjov med gummibolde (Anvendt Fysik)

26. september 2024 af VSHansen - Niveau: Universitet/Videregående

Har siddet med den her i lang tid, og forstår ikke hvad jeg skal gøre. Håber nogen kan hjælpe...

En tung og en let gummibold med masserne M og m slippes fra den samme position i højden H over jordoverfladen men forskudt i tid, idet den tunge bold slippes før den lette. Den tunge bold rammer jordoverfladen i et elastisk stød, og på vej op i højden 1/2 H rammes den af den lette bold, der er på vej ned. Hver bold har en radius R, som antages at være lille i sammenligning med H, og vi ser bort fra boldenes udstrækning i resten af opgaven. Vi ignorerer luftmodstand og antager at tyngdeaccelerationen, betegnet g, er konstant.

(a) Opskriv udtryk for hver bolds hastighed lige før de rammer hinanden. Tror selv det er v=√2gH, og v=√2g1/2H????

(b) i) Under antagelse af at de to bolde støder elastisk i et kortvarigt stød, find udtryk for hver bolds hastighed lige efter stødet. ii) Hvor mange gange større er den lille bolds hastighed i forhold til den store bolds lige efter stødet, hvis M»m (angiv heltal)?

(c) Hvor højt op kommer den lette bold efter sammenstødet under antagelsen M»m?

(d) Den lille gummibold smøres nu til med klister inden den slippes. Stødet er nu fuldstændigt uelastisk, dvs. de to bolde fortsætter sammen. Hvad er deres fælles hastighed lige efter stødet?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2024-09-26 154553.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
26. september 2024 af Eksperimentalfysikeren

Du har fat i den rigtige formel, men skal lige have fat i de rigtige værdier. På stødtidspunktet er den lille bold faldet halvejs, så dens fart er:

$|v_{m}|=\sqrt{2 g \cdot \frac{1}{2}H}$

Jeg formoer, det er den fart, du har angivet sidst.

Den store bold er nået halvejs op, så dens fart er:

$|v_{M}|=\sqrt{2 g \cdot \frac{1}{2}H}$

b) Opskriv bevægelsesmængden før og efter stødet. De skal være lige store. Opskriv også energibevarelsen. Benyt M>>m til at forsimple ligningen. Husk fortegnene på hastighederne, idet du vælger en retning som positiv.

Brugbart svar (0)

Svar #2
26. september 2024 af M2023

#0. Man skal finde sammenhængen mellem fart og højde over jorden og bruger derfor energibetragtninger. Der er ikke luftmodstand og derfor gælder bevarelse af mekanisk energi. Ved et elastisk sammenstød gælder ligeledes bevarelse af mekanisk energi.

a) Højden over jorden kaldes h. Bolden med massen M starter ved jordoverfladen og bevæger sig opad mod tyngdekraften. For den gælder:

$E_k=\tfrac{1}{2} \cdot M \cdot v_M^2=E_k(0)-h\cdot g\cdot M\Rightarrow$

$\tfrac{1}{2} \cdot M \cdot v_M^2=H\cdot g\cdot M-h\cdot g\cdot M\Rightarrow$

$v_M= \sqrt{2\cdot g\cdot (H-h)}$

Bolden med massen m starter i højden H og bevæger sig nedad med tyngdekraften. For den gælder:

$E_k=\tfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_m^2=E_k(H)+h\cdot g\cdot m\Rightarrow$

$\tfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_m^2=h\cdot g\cdot m\Rightarrow$

$v_m=\sqrt{2 \cdot g \cdot (H-h)}$

Ved sammenstødet gælder:

$|v_M|=|v_m|=\sqrt{2 \cdot g \cdot (H-\tfrac{1}{2}H)}=\sqrt{g \cdot H}$

b) Da M >> m, så vil den lille bold overtage den indbyrdes fart, som er dobbelt så stor som farten for den store bold, der fortsætter uforstyrret. Dermed bliver forholdet lig med 2.

c) Den kinetiske energi omsættes til potentiel energi for den lille bold. Der gælder:

$\Delta h\cdot m\cdot g = \tfrac{1}{2}\cdot m\cdot (2\cdot \sqrt{g\cdot H})^2\Rightarrow$

$\Delta h = 2H$

Dette skal lægges til højden for sammenstødet, hvor bolden starter fra: Den maksimale højde for den lille bold bliver 2,5 H.

d) Den fælles fart bliver farten for den store bold lige før sammenstødet:

$\sqrt{g \cdot H}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
27. september 2024 af M2023

#2... rettelse
Bolden med massen m starter i højden H og bevæger sig nedad med tyngdekraften. For den gælder:

$E_k=\tfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_m^2=E_k(H)+\colorbox{yellow}{(H-h)} \cdot g\cdot m\Rightarrow$

$\tfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_m^2=(H-h)\cdot g\cdot m\Rightarrow$

$v_m=\sqrt{2 \cdot g \cdot (H-h)}$

Svar #4
03. oktober 2024 af VSHansen

Mange tak for hjælpen, har fået afleveringen tilbage og kan sige at Eksperimentalfysikeren var korrekt, men desværre så var det ikke korrekt det M2023 skrev.

Det er korrekt fremgangsmåde i b) men (ii) er forkert.

Det var også korrekt fremgangsmåde i c), men svaret er ikke 2 eller 2,5.

Og svaret i d) er også forkert, hvor jeg fik afvide at man skal huske at man ikke bruger M>>m i den opgave...

Brugbart svar (0)

Svar #5
03. oktober 2024 af M2023

#4. Tak for tilbagemeldingen. Har du facit?

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. oktober 2024 af M2023

#0...(b) i) Der gælder impuls- og energibevarelse. Positiv retning er opad. Farten af de to bolde før sammenstødet kaldes |v₀|. Hastigheden for den store bold efter sammenstødet kaldes v₁, og hastigheden for den lille bold kaldes v₂. Begge bolde vil bevæge sig opad efter sammenstødet på grund af, at M >> m.

$Impuls:M\cdot |v_0|-m\cdot |v_0|=M\cdot v_1+m\cdot v_2$

$Energi:\tfrac{1}{2}\cdot M\cdot |v_0|-\tfrac{1}{2}\cdot m\cdot |v_0|=\tfrac{1}{2}\cdot M\cdot v_1+\tfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_2$

⇒

$v_1=\frac{(M-m)\cdot |v_0|-m\cdot v_2}{M}$

$(M+m)\cdot v_0^2=M\cdot \left(\frac{(M-m)\cdot |v_0|-m\cdot v_2}{M} \right )^2+m\cdot v_2^2$

Dette løses med hensyn til v₁ og v_2,og man får:

$v_1=|v_0|\cdot \left( \frac{M-m}{M}-\frac{m}{M}\cdot \frac{m-3\cdot M}{m+M} \right)$

$v_2=|v_0|\cdot \left( \frac{3\cdot M-m}{m+M} \right)$

b) ii) For M >> m er v₁ ≈ |v₀| og v₂ ≈ 3·|v₀|. Det vil sige at v₂/v₁ = 3.

Svaret på c) bliver derfor 3,5 H.

d) Kan jeg ikke svare på uden at kende forholdet mellem masserne.

Skriv et svar til: Sjov med gummibolde (Anvendt Fysik)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.