Betragtning af det bestemte integral som et areal "med fortegn"

Definitionen på et riemann integral har ikke noget med areal at gøre. Det er en grænseværdi for nogle oversummer og undersummer, som når n går mod uendelig går mod den samme værdi

#1

Tak for svaret.

"Det er en grænseværdi for nogle oversummer og undersummer, som når n går mod uendelig går mod den samme værdi"

Det er jeg helt med på. 

"Definitionen på et riemann integral har ikke noget med areal at gøre"

Hvis det er tilfældet, skal jeg have læst gevaldigt op på Riemann-integralet. Jeg er klar over at der er flere måder at fortolke det på, men grænseværdien for den sum du nævner, har vel netop det med et areal at gøre, at den netop er lig med arealet afgrænset af funktionens graf over førsteaksen. 

Dette er som jeg har forstået det grundlaget for indførslen af Riemann-integralet; netop at man forsøger at tilnærme et areal. Er dette forkert?

Jeg er naturligvis klar over at Riemann-integralet også kan fortolkes som en funktion for massetæthed, men dette forbinder jeg ikke med den klassiske geometriske fortolkning herpå.

Er jeg hel gal på den?

Tolkningen af det bestemte integral som arealet af en punktmængde er en (af flere) konkrete måder
at anskue en abstrakt tankegang. Men inden vi tør vove os ud i denne tolkning, må vi først gøre os klart, hvad vi forstår ved arealet af en (afgrænset) punktmængde. Lad der da være givet en vilkårlig polygon P
som ikke nødvendigvis er regulær og lad denne polygon have arealet A(P). Lad nu en polygon P_i være
fuldstændig indskrevet i P med arealet A(P_i)  og en polygon P_y være fuldstændig omskrevet af P og
have arealet A(P_y) . Når P er begrænset gælder       P_i ⊆ P ⊆ P_y    og    A(P_i) ≤ A(P_y) .
Lad nu I være mængden af arealtal for P_i og Y være mængden af arealtal for P_y . Vi skal da finde det
mindste overtal* for arealet af indre polygon og det største undertal** for ydre polygon. At P har et areal, er
ensbetydende med, at der eksisterer en indre - og en ydre polygon, således at A(P_i) - A(P_y) er mindre
end et nok så lille positivt tal. Denne grænseværdi er lig med det bestemte integral, som hermed bringer
arealforståelsen på vej.
____________________
*  sup I      **  inf Y
   sup I ≤ inf Y          Hvis  sup I = inf Y  er dette grænseværdien og integralets værdi. 

#3 

Mange tak skal du have for det udførlige svar.

Det er desværre sent på aftenen nu, men jeg vil læse dit svar grundtligt igennem i morgen og forsøge at sætte mig ind i det.

# 3  rettelse  tredje sidste linje
... således at A(P_i) - A(P_y) er mindre ...
skal være
... således at A(P_y) - A(P_i) er mindre ...
Det er vigtigt at have grænseværdi og infimum og supremum på plads for forståelsens inderste kerne.    

Lad nu  {(x , y) | n ∈ N  ∧  x₀ ≤ x ≤ x_n  ∧  0 ≤ y ≤ f (x)}  være en punktmængde vi vil tildele et areal.
En indre polygon for denne punktmængde kan have arealet  _i=0Σ^{n - 1} f(x_i)(x_{i + 1} - x_i) og kaldes en undersum U
En ydre polygon for denne punktmængde kan have arealet   _i=1Σⁿ f(x_i)(x_i - x_{i - 1}) og kaldes en oversum O
Er inddelingen af intervallet [x₀ ; x_n] "fint" nok, har vi, at     sup U = inf O
Det er dette n → ∝ , som du har beskrevet indledningsvis. 

Det har intet med areal at gøre. Det er en hel abstrakt definion. Det er muligt at du har fået det forklaret på den måde, men det er rent pædagogisk. Hvis du ser på den normale definition man møder i gymnasiet er definitionen at et integral til en funktion f en funktion F hvis afledede er funktionen f. Senere beviser man at det bestemte integral til en funktion f>0 er arealet under kurven. Man kunne ligeså godt have anvendt noget andet. Når man har anvendt arealet er det af rent pædagogiske grunde.

Matematik er smukt!

#3, #5, #6

Jeg skal være ærlig at indrømme at det endnu er et stykke over min matematiske kunnen, men det er bestemt noget jeg vil tage at dykke dybere ned i ved passende lejlighed og sætte mig ind i. Endnu engang, tak skal du have.

#7

Mange tak for det fine svar - det er rart at få på plads 

Det er korrekt antaget at det er den måde jeg har hørt det forklaret i gymnasiet, altså som et areal, og jeg har indtil nu på universitet mere eller mindre kun haft en kort introduktion til integralregning (jeg læser ikke ren matematik). Jeg tror at fortolkningen af det bestemte integral som et areal (som det er blevet betegnet i gymnasiet) fik mig til at anse det som en definition. Jeg har endda set det skrevet som ∫_a^bf(x)dx = A, hvorfor det om ikke andet for mig kræver tilvending at komme væk fra den "tankegang".

Jeg sidder lidt med samme følelse som da man fik at vide i gymnasiet, at en kontinuert funktion er en funktion vis graf man kan tegne uden at løfte kulgepennen fra papiret. Med det sagt er jeg klar over at gymnasieniveauet desværre er langt lavere i dag, end hvad det var engang.

Generelt synes jeg faktisk at det kan være svært med pædagogiske fortolkninger i matematik da det med fordelen at det bliver mindre formelt, dog bliver mindre stringent. Altså forstået på den måde at man i virkeligheden får noget forkert at vide. Jeg synes ikke nødvendigvis altid at de overpædagogiske forklaringer gør det lettere, da man (som i dette tilfælde) nemt kan få en forståelse der grundlæggende er forkert. 

Dilemmaet er klassisk; det var vist en embedsmand der til et spørgsmål fra sin minister spurgte: "Vil de have det korte- eller det rigtige svar?".

# 8
"Med det sagt er jeg klar over at gymnasieniveauet desværre er langt lavere i dag, end hvad det var engang".
       Jeg må desværre give dig ret,
og er, vor lektor i matematik og lærebogssystemet i gymnasiet, taknemmelig for, hvad vi dengang lærte.

^{Integralregning uden infimum og supremum er som kontinuitet med løftet blyant.}