Vektorfunktion, Lodrette og vandrette tangenter, MatematikA2, Opgave 384, Side 362 (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Tangenten er en linje med retningsvektor f '(t), og det giver ikke mening at tale om koordinatsæt for en linje. 
Der skulle have stået:  "Bestem røringspunkt og ligning for evt. lodrette tangenter" eller noget i den retning.

Du har fået røringspunktet til (-1,2), så den lodrette tangent har ligingen x = -1.

c)
To værdier for t ,  t₁ og t₂ giver samme (dobbelt)punkt (x₀ , y₀).
Løs derfor ligningssystemet:
x:            t₁² - 1 = t₂² - 1            ∧   | t | ≤ 5
y:   t₁³ - 6t₁ + 2 = t₂³ - 6t₂ + 2   ∧   | t | ≤ 5
Indsæt dernæst en af løsningerne for t i parameterfremstillingen for r

#0

Vektorfunktion

Se evt den vedhæftede fil med opgaven op facit.

Det har ikke været mulig at lave vektorpil.

------------------------------------------------------------------------------------

Opgave 384

                                               t² - 1 

Givet funktionen r ( t ) = (                       )

                                           t³ - 6 • t + 2

t  = √ (2 )        ∨   t = - √ ( 2 )

Her forstår jeg ikke facit da løsningen er Tg. ( 2 √ (2 ), 18 ) rører i ( 1, 7. 66)   og   tg.  2 √ (2 ), 18 ) 

Mit spørgsmål er, hvordan bestemmer man røringspunkt og koordinatsæt for evt. vandrette tangenter?

Du har løst ligningen f_y'(t) = t² - 1 = 0 og fået t = ±√2, så der er åbenbart to vandrette tangenter. 
Indsæt i f(t) for at finde de to røringspunkter.
Så vidt jeg lige kan se, har du sat ind i f '(t).
De vandrette tangenter har ligning y = røringspunktets 2.koordinat.

Tak for svarene.

Jeg ser nærmere på dem.

På forhånd tak

Til Svar #2, SuneChr

c) Grafen har et dobbeltpunkt. Bestem dets koordinater.

-------------------------------------------------------------------------

Mit forsøg:

Jeg indsætter i parameterfremstillingen for r                                    

t = √2    ∧   t = -√2

 Bestemmer første koordinaten for r

                                                      x:             t²₁ - 1  =  t²₂         ∧          | t | ≤ 5

                                                       y:  t³₁ - 6 • t₁ +2  = t³₂ - 6 • t₂ +2   | t | ≤ 5

                                                           x : (√2)² - 1      =    (-√2)² -1

                                                                    2  -  1      =     2  -  1

                                                                            1      =    1

Den har dobeltpunkt med førstekoordinat x = 1

Bestemmer anden koordonaten:

t = √2    ∧   t = -√2

                                                       y:  t³₁ - 6 • t₁ + 2       =   t³₂ - 6 • t₂ +2   | t | ≤ 5

                                                           (√2)³ - 6 • √2 + 2   =   (-√2)³ - 6 • (-√2) + 2

                                                                       2 - √2 + 2   ≠ 4 • √ 2 + 2

                                                                           - 3,656   ≠  7,656

Der er noget der ikke stemmer her

Der fremkommer to koordinater for y som så må opfattes som y₁ og y₂

Så jeg er kommet frem til at Grafen har følgende dobbeltpunkter, men ifølge facitlisaten er det koordinatsæt til de to vandrette tangenter :

(x₁ ; y₁ )  = ( 1; - 3,66 )

 ( 1; - 3,66 ) og ( 1;  7,66 )

Min i facitlisten opgave c) har grafen dobbeltpunktet ( 5 , 2)

--------------------------------------------------------------------------------------------

Til gengæld

For det første:

Mit spørgsmål er, kan en vandret tangent udover at den har et røringspunkt kan den også have et koordinatsæt burde røringspunkt og koordinatsæt ikke være det samme, jeg forstår ganske enkelt ikke bogens facit til opgave b). I følge facitlisten har Tg (2√2 , 18) rører i ( 1, 7.66 ) og tg: 2√2, 18 ) rører i (-(1, -3,66)

For det andet:

Facit til opgave c) hvor man skal koordinater hvor grafen har dobbeltpunkt er  (5,2).

Så jeg forstår åbenbart ikke hvordan man skal løse opgave b) og c). for jeg forstår så heller facit til opgave b) og c).

Der er et eller andet galt med den måde jeg prøver at løse opgave b) og c)

På forhånd tak

Læg lige et billede af selve opgaven op.

Til Svar#6, AMelev

Billede af opgaven er lagt op tidligere, men jeg har igen vedhæftede fil med billed af opgave 384 og Facit.

Det kan være det er mig der ikke forstår hvordan man løser opgave 384 b) og c) og ikke forstår facit.

Men som jeg forstår det, har en tangent hvad enten der er tale om en lodret eller vandret tangent har de e't røringspunkt med funktionen og røringspunktet burde det ikke være det samme som tangentets koordinatsæt?.

Så jeg ville gerne se hvordan man løser opgave 384 b) angående vandrette tangenter og hvordan man i opgave c)  bestemmer koordinater til grafen som har et dobbeltpunkt. 

For jeg er kørt fast.

På forhånd tak

a) og b)

Jeg forstår heller ikke hvad opgaven mener med "koordinatsæt" og facit til dem.

c)

Med de to koordinatfunktioner: r(t) = (x(t), y(t)), så skal der gælde ved et dobbeltpunkt at der findes et t₁ og t₂ som opfylder:

x(t₁) = x(t₂) og y(t₁) = y(t₂)

Så:

t₁^2 - 1 = t₂^2 -1  => t₂ = ?

Og t₂ kan indsættes i den tilsvarende ligning for y(t). Man finder så to t-værdier som giver samme (x,y) koordinat i vektorligningen.

#5

c) Grafen har et dobbeltpunkt. Bestem dets koordinater.

Jeg indsætter i parameterfremstillingen for r   t = √2    ∧   t = -√2

 Bestemmer første koordinaten for r

                                                      x:             t²₁ - 1  =  t²₂  -1       ∧          | t | ≤ 5

                                                       y:  t³₁ - 6 • t₁ +2  = t³₂ - 6 • t₂ +2   | t | ≤ 5

Min i facitlisten opgave c) har grafen dobbeltpunktet ( 5 , 2)

Af den første tigning får du t₁² = t₂² ⇔ t₁ = ±t₂.
Kun t₁ = -t₂ er relevant, da et dobbeltpunkt forudsætter, at punktet fremkommer ved to forskellige t-værdier.
Det indsætter du i y-ligningen (-t₂)³ - 6·(-t₂) + 2 = t₂?³ - 6t₂ + 2 ⇔ 2t₂?³ - 12t₂ = 0 ⇔ 2t₂?·(t₂²-6) = 0 ⇔
t₂ = 0 eller t₂ = ±√6.
t₂ = 0 indebærer, at også t₁ = 0, så den skrottes. Dobbeltpunktet fås altså ved t-værdierne √6 og -√6.
Når du indsætter dem i f(t), får du punktet (5,2),

Ad a) og b)
Koordinatsæt til tangent er efter min bedste overbevisning noget vås.

b) Røringspunkterne for de vandrette tangenter er f(√2) = (1, 2-4√2) og  f(-√2) = (1, 2+4√2), så de to vandrette tangenter har ligningerne hhv. y = 2-4√2 og y = 2+4√2.
                                    

Jeg har ikke fantasi til at forestille mig, hvad der har været tænkt på i forbindelse med b)-facit. For mig giver det heller ikke mening, så du er ikke alene.

Tak for svarene

Jeg ser nærmere på dem