Matematik

Anvendelse af vektorfunktion - Jævn cirkelbevægelse, Matematik A2; Opgave 390, Side 362, (Knud Erik Nielsen og EsperFog)

19. december 2024 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 390

En sten har sat sig fast i dækket på en bil, der kører med en fart på v = 30 m / s ( = 108 km / t ). Dækkets radius er r = 0,32 m.

a) Bestem stenens vinkelhastighed ω.

----------------------------------------------------

Mit forsøg ( Se evt. vedhæftede fil med opgaveteksten og facit. I facitlisten er der kun facit til opgave a.

I bogen side 359 er der et eksempel 3,4 med cykelhjul med tegnestift til bestemmelse af vinkelhastighed ω. I eksemplet anvendes anvendes radianer pr. sekund.

Jeg indsætter v = 30 m /s og radius, r = 0,32 m

v 30

ω = ----- = ----------- = 93,75

r 0,32

Det passer med facitlisten, der nævnes ikke enhederne radianer pr. sekund facitlisten.

Men jeg mener at facit er ω = 93,75 radianer pr.sekund. Hvad det så betyder ved jeg ikke

b ) Angiv en parameterfremstilling for stenens bevægelse.

--------------------------------------------------------------------------------

Mit forsøg.

I bogen side 350 - 351 omhandler Anvendelse af vektorfunktioner og Jævn cirkelbevægelse.

En vektorfunktion der beskriver bevægelse:

r • cos ( ωt )

r ( t )= ( ) , Vektorpil mangler her

r • sin ( ωt )

Jeg indsætter ω = 93,75 , og t

r • cos ( ωt ) 0,32 • cos ( 93,75 • t )

r ( t ) = ( ) = ( ) , Vektorpil mangler her

r • sin ( ωt ) 0,32 • sin ( 93,75 • t )

Mit spørgsmål er, parameterfremstillingen for stenens bevægelse angivet rigtigt?

Bestem størrelsen af hastighed og acceleration i banens øverste punkt.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Mit forsøg

I bogen side 351 har man differentieret vektorfunktionen og får hastighedsvektoren

Bestemmer størrelsen af hastigheden i banens øverste punkt.

-r • ω sin ( ω • t )

v ( t ) = ( )

r • ω cos ( ω • t )

Jeg indsætter ω = 93,75 , og t

- 0,32 • 93,75 • sin ( 93,75 • t )

v ( t ) = ( ) =

0,32 • 93,95 • cos ( 93,75 • t )

Problemet er, at jeg ikke kender størrelsen af t

Mit spørgsmål er, hvordan bestemmer man t så man kan bestemme størrelsen af stenens hastighed i banens øverste punkt?

Der står ikke noget facit til opgave c:

Bestemmer størrelsen af stenens acceleration i banens øverste punkt.

I bogen side 351 står accelerationsvektoren.

- r • ω² • cos ( ω • t )

a ( t ) = ( ) = - ω² • r

- r • ω² • sin ( ω • t )

Jeg indsætter ω = 93,75 og r = 0,32 i accelerationsvektoren:

- 0,32 • 93,75² • cos ( 93,75 • t )

a ( t ) = ( ) = ( -93,75) ² • 0,32 = 2812,50

- 0,32 • 93,75² • sin ( 93,75 • t )

I bogens facitliste nævnes ikke facit til opgave c, størrelsen af stenens acceleration i banens øverste punkt.

Da acceleration er m / s²så må stenens acceleration i banens øverste punkt være:

a ( t ) = ( -93,75) 2 • 0,32 = 2812,50 m / s²

Mit spørgsmål er, er min bestemmelse af stenens accelerationen i øverste punkt rigtig bestemt?

På forhånd tak

Vedhæftet fil: OPGAVE 390 OG FACIT.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
19. december 2024 af mathon

b) Angiv en parameterfremstilling for stenens bevægelse:

$\begin{array}{lllllll} \textup{cykloide:}\\\\& \overrightarrow{OP_t}=r\cdot\left(\omega t-\sin(\omega t) \right )\cdot\overrightarrow{\mathbf{i}}+r\cdot\left(1-\cos(\omega t) \right )\cdot\overrightarrow{\mathbf{j}}\qquad t \geq0 \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
19. december 2024 af mathon

$\begin{array}{llllll}\textbf{c)}\\& \overrightarrow{v}(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\overrightarrow{OP_t} \right )=\begin{pmatrix}\omega\cdot r\cdot\left(1-\cos(\omega t) \right )\\\omega \cdot r\cdot \sin(\omega t) \end{}\\\\\\& \overrightarrow{a}(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\overrightarrow{v}(t) \right )=\begin{pmatrix}\omega^2\cdot r \cdot \sin(\omega t)\\ \omega^2\cdot r \cdot \cos(\omega t) \end{} \end{}$

Svar #3
19. december 2024 af ca10

Til Svar #2 mathon

Tak for svaret

jeg ser nærmere på det

På forhånd tak

Svar #4
20. december 2024 af ca10

Til Svar # 2 og 3 mathon

Til at bestemme tiden t har jeg måtte anskaffe Vejen til Fysik A2 (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh) og på side 226 står der følgende:

2 π

ω = ------

Hvis man omskriver ligningen og udnytter at vinkelhastigheden fra opgave er 93.75:

2 π 2 π 2 π

ω = ------ ⇔ T = ----------- = ------------- = 0,067 da

T ω 93,75

Men ω = 0,067 kan åbenbart ikke anvendes.

Man skal bestemme det øverste punkt i Vejen til Matematik A2 og Vejen til Fysik A2 er der ikke noget eksempel hvad ω er lig med når en partikel er i startpunktet og når den befinder sig i sit øverste punkt.

I Matematik HF-Tilvalg ( Ib Axelsen m.m) står der på side 44:

Omkredsen af en enhedscirkel er 2 • π • 1 = 2π

Det betyder at partiklen foretager et helt omløb så partiklen er tilbage til udgangspunktet.

I Matematisk Formelsamling (Gymnasiet Matematisk linje 3-årigt Forløb til A-niveau) side 27

er der en tabel:

grader 0^o 30^o 45^o 60^o 90^o

radiantal 0 π / 6 π / 4 π / 3 π / 2

I Vejen til Matematik A2 og Vejen til Fysik A2 hvor der anvendess radianer, nævnes ikke det radiantal hvor en partikel befinder sig i det øverste punkt. Det har derfor været nødvendigt at gå på internettet for at undersøge det radiantal når en partikel befinder sig i det øverste punkt og det er radiantallet π / 2.

Bestemmer tallet t og anvende ω = 93,75:

π /2 π / 2 π / 2

ω = ------ ⇔ T = ----------- ⇔ ------------- = 0,0167

T ω 93,75

b) Angiv en parameterfremstilling for stenens bevægelse:

OP = r • ( ω t • - sin ( ωt )) • i + r • ( 1 - cos ( ωt ) • j

Jeg har forstået at vektorene i og j er basisvektorer og i = ( 1; 0) og j = ( 0; 1)

Så stenens bevægelse er følgende :

OP = 0,32 • ( 93,75 • 0,0167 - sin ( 93,75 • 0,0167 ) • 1 + 0,32 • ( 1 - cos ( 93,75 • 0,0167 ) • 1 = 0,4737

Mit spørgsmål er, hvad betyder det?

c) Bestem størelsen af hastighed og acceleration i banens øverste punkt

Bestemmer hastigheden i banens øverste punkt:

ω • r • ( 1 - cos ( ω • t ))

v ( t ) = d /dt (OP_t ) = ( )

ω • r • sin ( ω • t )

Jeg indsætter ω = 93,75 og t = 0,0167

93,75 • 0,32• ( 1 - cos ( 93,75 • 0,0167 )) 0,01119

v ( 0,0167 ) = d /dt (OP_0,0167 ) = ( ) = ( )

93,75 • 0,32 • sin ( 93,75 • 0,0167 ) 0,81969

Mit spørgsmål er, hvad er hastigheden i banens øverste punkt, hvad betyder tallene i ovenstående bestemmelse?

Bestemmer acceleartonen i banens øverste punkt:

ω² • r • sin ( ω • t )

a ( t ) = d / dt ( v ( t ) ) = ( )

ω² • r • cos ( ω • t )

Jeg indsætter ω = 93,75 og r = 0,32

93,75² • 0,32 • sin ( 93,75 • 0,0167 ) 76,84

a (0,0167t ) = d / dt ( v ( 0,0167 ) ) = ( ) = ( )

93,75² • 0,32 • cos ( 93,75 • 0,0167 ) 2811,45

Det må så betyde at stenens acceleration i banens øverste punkt er 2811 m / s²

Tidligere er accelerationen bestemt således efter formelen vedrørende jævn cirkelbevægelse:

Bestemmer størrelsen af stenens acceleration i banens øverste punkt.

I bogen side 351 står accelerationsvektoren.

- r • ω2 • cos ( ω • t )

a ( t ) = ( ) = - ω2 • r

- r • ω2 • sin ( ω • t )

Jeg indsætter ω = 93,75 og r = 0,32 i accelerationsvektoren:

- 0,32 • 93,752 • cos ( 93,75 • t )

a ( t ) = ( ) = ( -93,75) 2 • 0,32 = 2812,50

- 0,32 • 93,752 • sin ( 93,75 • t )

Mit spørgsmål er, hvad forskel er der på at bestemme accelerationen a ( t ) = 2812, 50 m / s², når der er tale om jævn cirkelbeveægelse og bestemme accelerationen a ( t ) = 2811,45 når der er tale om en Cykloide, for hvad er forskellen på accelerationen ved henholdsvis jævn cirkelbevægelse og accelerationen ved en cykloide ?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #5
21. december 2024 af mathon

Ingen

Svar #6
21. december 2024 af ca10

Til Svar #5 mathon

Tak for svaret

Brugbart svar (0)

Svar #7
05. januar 2025 af ringstedLC

#4
Til at bestemme tiden t ...:

2 π

  ω = ------

T

Hvis man omskriver ligningen og udnytter at vinkelhastigheden fra opgave er 93.75:



2 π 2 π 2 π

ω = ------ ⇔ T = ----------- = ------------- = 0,067 da

T   ω 93,75

Men ω = 0,067 kan åbenbart ikke anvendes.

Du har beregnet periodetiden T = 0.067

Det er omløbstiden for hjulet, - og ikke den søgte tid t.

Brugbart svar (0)

Svar #8
05. januar 2025 af ringstedLC

#4
... hvad ω er lig med når en partikel er i startpunktet og når den befinder sig i sit øverste punkt.

Nej fordi det afhænger ikke af ω som er vinkelhastigheden. Brug at når stenen er højest, er stedvektorens y-komposant lig med hjulets diameter:

$\begin{align*} 2\,r &= \overrightarrow{OP_y}\,(t_0) \\ 2\,r &= r\cdot\bigl(1-\cos(\tfrac{v}{r}\,t_0)\bigr) \Rightarrow t_0=\frac{\pi\;r}{v} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. januar 2025 af ringstedLC

#4
I Vejen til Matematik A2 og Vejen til Fysik A2 hvor der anvendess radianer, nævnes ikke det radiantal hvor en partikel befinder sig i det øverste punkt. Det har derfor været nødvendigt at gå på internettet for at undersøge det radiantal når en partikel befinder sig i det øverste punkt og det er radiantallet π / 2.

Du må få styr på begrebet radianer og måske repetere enhedscirklen:

$\begin{align*}\textup{I\,enhedscirklen}:\\ 2\,\pi &\approx 360^\circ \\ \frac{2\,\pi}{2\,\pi}=1\,(\textup{radian}) &\approx \frac{360^\circ}{2\,\pi}\approx 57.3^\circ \\ \frac{360^\circ}{360}=1^\circ &= \frac{2\,\pi}{360}\approx0.017\,(\textup{radian}) \\ 90\cdot1^\circ &= \frac{2\,\pi\cdot 90}{360}=\frac{\pi}{2}\approx1.57\,(\textup{radian}) \end{}$

En vinkel i radianer er altså længden af cirkelbuen med radius r = 1 mellem dens ben.

NB. "(radian)" er kun for forståelsen. En vinkel uden gradtegn skal opfattes som radianer.

Brugbart svar (0)

Svar #10
05. januar 2025 af ringstedLC

#4
b) Angiv en parameterfremstilling for stenens bevægelse:

OP = r • ( ω t • - sin ( ωt )) • i + r • ( 1 - cos ( ωt ) • j

Jeg har forstået at vektorene i og j er basisvektorer og i = ( 1; 0) og j = ( 0; 1)

Korrekt!

#4
Så stenens bevægelse er følgende :

OP = 0,32 • ( 93,75 • 0,0167 - sin ( 93,75 • 0,0167 ) • 1 + 0,32 • ( 1 - cos ( 93,75 • 0,0167 ) • 1 = 0,4737

Nej, selve bevægelsen er en vektor, - den kan ikke være et tal:

$\begin{align*} \overrightarrow{OP} &= r\cdot\bigl(\omega\,t-\sin(\omega\,t)\bigr)\cdot\binom{1}{0}+r\cdot\bigl(1-\cos(\omega\,t)\bigr)\cdot\binom{0}{1} \\ &= \binom{r\cdot\bigl(\omega\,t-\sin(\omega\,t)\bigr)}{0}+\binom{0}{r\cdot\bigl(1-\cos(\omega\,t)\bigr)} \\ \overrightarrow{OP} &= \binom{r\cdot\bigl(\omega\,t-\sin(\omega\,t)\bigr)}{r\cdot\bigl(1-\cos(\omega\,t)\bigr)} \\ \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
05. januar 2025 af ringstedLC

Hjulet, stenen og vektoren OP:

Vedhæftet fil:_1.png

Brugbart svar (0)

Svar #12
05. januar 2025 af ringstedLC

#4
c) Bestem størelsen af hastighed og acceleration i banens øverste punkt

Bestemmer hastigheden i banens øverste punkt:

ω • r • ( 1 - cos ( ω • t ))

v ( t ) = d /dt (OP_t ) = ( )

ω • r • sin ( ω • t )

Jeg indsætter ω = 93,75 og t = 0,0167

Først fremmest: I a) bestemte du ω som:

$\begin{align*} \omega=\frac{v}{r}\Rightarrow \omega\cdot r &= v=30\,\bigl(\textup{m\,s}^{-1}\bigr) \\ \Rightarrow\vec{\,v}(t_0) &= \binom{v\cdot\bigl(1-\cos(\tfrac{v}{r}\cdot\tfrac{\pi\,r}{v}\bigr)}{v\cdot\sin(\tfrac{v}{r}\cdot\tfrac{\pi\,r}{v})} =\binom{v\cdot\bigl(1-\cos(\pi)\bigr)}{v\cdot\sin(\pi)}=\binom{...}{...} \\ \Rightarrow\bigl|\!\vec{\,v}(t_0)\bigr| &= ... \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #13
05. januar 2025 af ringstedLC

Hjulet, stenen og vektoren OP_t ' (t₀)

Vektoren er nedskaleret med en faktor 10 for overblik.

Vedhæftet fil:_2.png

Brugbart svar (0)

Svar #14
05. januar 2025 af ringstedLC

Vektoren OP_t ' er summen af to vektorer:

- vektor v_s er hast.-vektoren på hjulets cirkelbevægelse. Da bevægelsen er jævn har den en konstant længde.

- vektor v_x er hast.-vektoren på hjulets bevægelse i bilens kørselsretning. Da bilens fart er konstant, har den en bestemt længde = 30 m

Både når stenen er højest og lavest bliver de tre vektorer parallelle. Prøv at tænke dig til stenens hastighed i bilens kørselsretning, når den er lavest.

Vedhæftet fil:_3.png

Brugbart svar (0)

Svar #15
05. januar 2025 af ringstedLC

#4
Bestemmer acceleartonen i banens øverste punkt:

ω² • r • sin ( ω • t )

a ( t ) = d / dt ( v ( t ) ) = ( )

ω² • r • cos ( ω • t )

Udover at din " t " er forkert (se #8) og at det umuligt at gennemskue, hvordan du beregner accelerationen, så er accelerationen i den jævne cirkelbevægelse konstant og da bilens hastighed er konstant, giver den ingen acc. til stenen:

$\begin{align*} \vec{\,a}(t) &= \binom{\tfrac{v^2}{r}\cdot\sin\bigl(\tfrac{v}{r}\cdot t\bigr)}{\tfrac{v^2}{r}\cdot\cos\bigl(\tfrac{v}{r}\cdot t\bigr)} \\ \bigl|\!\vec{\,a}(t)\bigr| &= \sqrt{\Bigl(\tfrac{v^2}{r}\cdot\sin\bigl(\tfrac{v}{r}\cdot t\bigr)\Bigr)^{\!2}+\Bigl(\tfrac{v^2}{r}\cdot\cos\bigl(\tfrac{v}{r}\cdot t\bigr)\Bigr)^{\!2}} \\ &= \sqrt{\Bigl(\tfrac{v^2}{r}\Bigr)^{\!2}\cdot\Bigl(\sin^2\bigl(\tfrac{v}{r}\cdot t\bigr)+\cos^2\bigl(\tfrac{v}{r}\cdot t\bigr)\Bigr)} \\ &= \tfrac{v^2}{r}\cdot\sqrt{\sin^2\bigl(\tfrac{v}{r}\cdot t\bigr)+\cos^2\bigl(\tfrac{v}{r}\cdot t\bigr)} \\ \bigl|\!\vec{\,a}(t)\bigr| &= \tfrac{v^2}{r}\cdot\sqrt{1}=\tfrac{v^2}{r} \end{}$

Vedhæftet fil:_3.png

Brugbart svar (0)

Svar #16
05. januar 2025 af ringstedLC

Vektoren OP '' med stenen i højeste stilling:

Vektoren er her nedskaleret med en faktor 1000 for overblik.

Vedhæftet fil:_4.png

Svar #17
06. januar 2025 af ca10

Til Svar #7 til #16 ringstedLC

Tak for svarene.

Jeg prøver at gå de omfattende svar igennem og jeg forsøger at forstå løsningerne.

På forhånd tak

Svar #18
13. januar 2025 af ca10

c) Bestem størrelsen af hastighed og acceleration i banens øverste punkt.

Størrelsen af hastighed. , v = 30 , r = 0,32

v 30 (ms^-1)

ω = ------- = ---------------- = 93,75

r 0,32

Anvender Svar# 05. januar kl. 23:15 af ringstedLC

→ v • ( 1 - cos ( v / r • π r / v v • ( 1 - cos ( π )) 30 (ms^-1 • (1 - cos ( π ) 60 ms^-1

⇒ v ( t₀ ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( )

v • sin ( v / r • π r / v v • sin ( π ) 30 ( ms^-1 )• sin (π ) 0

→

⇒ | v ( t₀ ) | = √ ( 60( ms^-1 )² + 0² ) = 30 ms^-1

Mit spørgsmål er, det størrelsen af hastigheden så 60 ms^-1

Størrelsen af accelerationen

Anvender Svar #15 05. januar kl. 23:17 af ringstedLC

→ v² / r • sin ( v / r • t

a ( t ) = ( )

v² / r • cos ( v / r • t )

→

| a ( t ) | = √ ( v² / r • sin ( v / r • t) )² + ( v² / r • cos ( v / r • t ) )²

= √ (v² / r )² • ((sin² ( v / r • t) ) + ( cos ² ( v / r • t ) )

→

| a ( t ) | = v² / r • √ 1 = v ² / r

| a ( t ) | = (30 (ms^-1 )² / 0,32 = 2812, 5 m • s^-² ≈ 3812 m • s^-2

Mit spørgsmål er, bestemmelsen af størrelsen af hastigheden og accelerationen i banens øverste punkt rigtig?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #19
13. januar 2025 af ringstedLC

Ja!

Svar #20
14. januar 2025 af ca10

Til Svar#19 af ringstedLC

Tak for svaret

Skriv et svar til: Anvendelse af vektorfunktion - Jævn cirkelbevægelse, Matematik A2; Opgave 390, Side 362, (Knud Erik Nielsen og EsperFog)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.