Matematik

opstil model eksponentiel funktion

14. april 2025 af Oliviaaa0 - Niveau: A-niveau

Hej, jeg kæmper lidt med opgave c her:

Opgavebeskrivelsen lyder: "Lægemidlet paracetamol optages hurtigt og næsten fuldstændigt i kroppen. Den dosis, som patienten har i kroppen, har en halveringstid på ca. 2,5 timer."

a. Hvor meget er der tilbage af 500 mg efter 2,5 timer?

250 mg.

b. Hvor meget er tilbage efter 5 timer?

125 mg.

c. Opstil en model (en formel/forskrift), der viser, hvor meget paracetamol, der er tilbage efter x timer.

Men forstår nemlig ikke helt, hvordan jeg skal lave den. Ved godt, at begyndelsesværdien i forskriften kommer til at være 500, og at det er en eksponentialfunktion. Jeg ved bare ikke, hvad fremskrivningsfaktoren kommer til at være.

På forhånd tak, Olivia.

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. april 2025 af Eksperimentalfysikeren

Du skal have en funktion af formen m=m₀·2^-t/t_½,

hvor t_½ er halveringstiden.

Man kan skrive den samme funktion på andre måder, men den ovenfor er den, der er nemmest at opstille.

Svar #2
14. april 2025 af Oliviaaa0

Tak for svar. Ville du kunne sætte det op for mig? Er lidt i tvivl om, hvad der skal stå de forskellige steder.

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. april 2025 af ringstedLC

c) Du har en begyndelsesværdi og ser a) og b) helt rigtigt. Løs da ligningen:

$\begin{align*} f(x) &= b\cdot a^x \\m(2.5)=250 &= 500\cdot a^{2.5} \\\Rightarrow a^{\frac{5}{2}} &= \tfrac{1}{2} \\ a &= \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{\frac{2}{5}} \\ m(x) &= 500\cdot \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{\!\frac{2}{5}\,x}=500\cdot 0.5^{\,0.4\,x} =500\cdot 2^{\,-0.4\,x}\;,\;0\leq x \end{}$

eller:

$\begin{align*} f(x) &= b\cdot e^{\,k\,x} \\ m(2.5)=250 &= 500\cdot e^{\,2.5\,k} \\ e^{\,2.5\,k} &= \tfrac{1}{2} \\ \ln\bigl(e^{\,2.5\,k}\bigr) &= \ln\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) \\2.5\,k &= \ln(1)-\ln(2)=-\ln(2) \\ k &= \tfrac{-2\ln(2)}{5} \\ m(x) &= 500\cdot e^{\frac{-2\ln(2)\,x}{5}}=500\cdot e^{-0.277\,x}\;,\;0\leq x \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. april 2025 af ringstedLC

#2 Alternativt kan to-punktsformlen for a_eksp altid bruges:

$\begin{align*} f(x) &= b\cdot a^x \;,\;a=\Bigl(\tfrac{y_2}{y_1}\Bigr)^{\frac{1}{x_2-x_1}} &&\textup{formel (107)} \\ m(x) &= 500\cdot \Biggl(\Bigl(\tfrac{125}{250}\Bigr)^{\frac{1}{5\,-\,2.5}}\Biggr)^{\!x}\;,\;0\leq x \\ &= 500\cdot \Biggl(\Bigl(\tfrac{125}{250}\Bigr)^{\frac{2}{5}}\Biggr)^{\!x}\;,\;0\leq x \\ m(x) &= 500\cdot \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{\!\frac{2}{5}\,x}=500\cdot0.5^{\,0.4\,x}\;,\;0\leq x \end{}$

eller:

$\begin{align*} b &= \frac{y_1}{a^{\,x_1}} &&\textup{formel (108)} \\ a^{\,x_1} &= \frac{y_1}{b} \\ a &= \Bigl(\frac{y_1}{b}\Bigr)^{\frac{1}{x_1}} \\ a &= \bigl(\tfrac{250}{500}\bigr)^{\frac{1}{250}}=\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{\frac{1}{250}}=0.7579 \\ m(x) &= 500\cdot 0.7579^{\,x}\;,\;0\leq x \end{}$

Svar #5
15. april 2025 af Oliviaaa0

Tusind tak for alle svarene! :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. april 2025 af mathon

Som opgaveteksten er bygget op med opgivet halveringstid som det første,
har opgaveforfatteren formentlig forestillet sig
formlen:

$\begin{array}{llllll} f(x)=b\cdot \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}=b\cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{T_{\frac{1}{2}}}} \right )^t \end{}$

hvilket naturligvis ikke betyder, at andre fremgangsmåder - som i #3 og #4 på nogen måde er udelukket.

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. april 2025 af StoreNord

T½=log(½) / log(a)

Brugbart svar (0)

Svar #8
21. april 2025 af mathon

Detaljer i #6

Du har
$\begin{array}{llllll} m=m_0\cdot e^{-k\cdot t}\qquad \textup{og}\qquad -k=\ln\left(\frac{1}2{} \right )\cdot \frac{1}{T_{\frac{1}{2}}}\\ \end{}$

og dermed
$\Large \begin{array}{llllll} m=m_0\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2} \right )\cdot \frac{1}{T_{\frac{1}{2}}}\cdot t}=m_0\cdot\left( \left(e^{\ln\left(\frac{1}{2} \right )} \right )^{\frac{1}{T_{\frac{1}{2}}}} \right )^t=m_0\cdot \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}} \end{}$

Svar #9
22. april 2025 af Oliviaaa0

Hej, nu vender jeg lige tilbage med et spørgsmål mere. Jeg har taget udgangspunkt i #3, fordi vi ikke har haft så meget om logaritmer endnu. Men jeg forstår simpelthen ikke, hvor den formel kommer fra. Den to-punktsformel man normalt bruger hedder vel:

På forhånd tak, Olivia.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2025-04-22 kl. 21.29.46.png

Brugbart svar (0)

Svar #10
22. april 2025 af ringstedLC

#9: Læs hele formel (107):

$\begin{align*} a &= \sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}}=\biggl(\frac{y_2}{y_1}\biggr)^{\frac{1}{x_2-x_1}} \end{}$

der benytter:

$\begin{align*} \sqrt[r]{a}=a^{\frac{1}{r}}\quad\textup{formel (26)} \end{}$

I #3 benyttes blot, at:

$\begin{align*} x_1=0\Rightarrow y_1=b \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
23. april 2025 af mathon

Det bemærkes,
at i #4 linie 10
$\left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{250}}=0.9972$

Brugbart svar (0)

Svar #12
23. april 2025 af mathon

Har du styr på det nu?

Brugbart svar (0)

Svar #13
23. april 2025 af mathon

$a=\,^{2.5-0}\sqrt{\frac{250}{500}}=\,^{2.5}\sqrt{\frac{1}{2}}\approx 0.7579$

Brugbart svar (0)

Svar #14
24. april 2025 af mathon

$a=\;^{2.5}\sqrt{\frac{1}{2}}=\left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{2.5}}=\left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{4}{10}}=\left(\frac{1}{2} \right )^{0.4}=2^{-0.4}\approx0.7579$

Skriv et svar til: opstil model eksponentiel funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.