Stokastiske variable

Normalt vil man bare tale om udfaldsrummet og sandsynlighedsfordelingen.

Begge det to eksempler i 2 er stokastiske variable

Super, tak for svar! 

En stokastisk variabel er - i hvert fald i gymnasiesammenhæng - defineret som "en afbildning, der til ethvert udfald i udfaldsrummet U knytter et reelt tal".
Ifølge det, er en afbildning, der giver talpar ikke en stokastisk variabel, men er bare en  alternativ beskrivelse af udfaldsrummet. Selve udfaldene er jo fx "side med 1 øje opad på rød terning og side med 5 øjne opad på blå terning", men det bliver man jo hurtigt træt af at sige, og så bruger man i stedet talparrene til beskrivelse af udfaldet.

Tilsvarende ved kast med én terning, men der har vi nok alle været vant til helt ubevidst at benytte den naturlige stokastiske variabel, som angiver antallet af øjne på den side, der vender opad. Vi kunne også  have valgt at benytte den, der angiver antallet af øjne på den side, der vender nedad, bagud, fremad, til højre eller til venstre - det er bare mere bøvlet.
Vi kunne fx også have valgt at give værdien 1, hvis øjentallet er ulige og 2, hvis det er lige. Der er uendeligt mange muligheder for at definere stokastiske variable for et sandsynlighedsfelt, men frekvenserne vil jo afhænge af det aktuelle valg af stokastiske variabel.

I eksperimentet med kast med 2 terninger, kunne man fx beslutte, at værdien er 1, hvis rød terning viser mere end blå terning,  værdien 2, hvis blå viser mere end rød og 3, hvis de viser det samme. Kun fantasien sætter grænser for at udtænke obskure eksempler på stokastiske variable, men de skal give mening i forhold til praktisk anvendelse.

Hele formålet med de stokastiske variable er, at de bl.a. giver mulighed for at regne på frekvenser og fordelinger samt lave grafiske afbildninger.
 

# 0
Som et tredje eksempel på et stokastisk eksperiment er ét samtidigt kast med de fem platoniske legemer.
De fem platoniske legemer er de regulære polyedre, hvor der, for hver af dem, er kongruente sideflader.
Sandsynlighederne for et vilkårligt udfald vil derfor være ligeberettiget.
De fem legemer, hvis græske navne angiver antallet af regulære sideflader, hedder
tetraeder 4 flader, heksaeder 6 flader, oktaeder 8 flader, dodekaeder 12 flader og ikosaeder 20 flader.
Udfaldsrummet for eksperimentet ved på én gang at kaste de fem legemer kan angives som
     U = {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} × {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 
             × {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
men kan også angives som en mængde med elementer bestående af talsæt  {(t, h, o, d, i)} ,
hvor      1 ≤ t ≤ 4   ∧   1 ≤ h ≤ 6   ∧  1 ≤ o ≤ 8   ∧  1 ≤ d ≤ 12  ∧  1 ≤ i ≤ 20
Vis nu, at
  P(X = 5)  =  P(X = 50)   hvis den stokastiske variabel er defineret som øjensummen af legemerne.
Beregn antallet af elementer i U .

#3 

Ah, det giver så meget mening! Tak for det uddybende svar.

#4

Spændende opgave - jeg har forsøgt at løse den: 

Antallet af elementer i U:

n(U) =  t · h · o · d · i = 46080

Eftersom vi har fem platoniske legemer, opstår øjensummen 5, når hvert legeme viser sin lavest mulige værdi, derfor gælder det, at:

P(X = 5) = 1 / 46080. 

Øjensummen 50 er den højeste mulige sum, som de fem legemer kan danne, og den opstår kun, når hvert legeme viser sin højeste mulige værdi. Derfor gælder det, at: 

P(X = 50) = 1 / 46080. 

Da begge disse hændelser kun kan ske på én måde, har vi vist, at : 

P(X = 5) = P(X = 50) 

# 5
Elegant besvarelse som viser, at du har godt greb om stokastiske eksperimenter.

Tillæg til # 4
Som man kunne forvente, ligger den største sandsynlighed i midten imellem X = 5 og X = 50.
Sandsynlighedsfordelingen ligger endvidere symmetrisk m.h.t. X = 27 og X = 28.
P(X = σ) = P(X = 55 - σ)   for  5 ≤ σ ≤ 50
P(X = 27) + P(X = 28) = 9,78... %  som man teoretisk / forventeligt vil ramme i knap hvert tiende kast.

Tillæg til # 4 og # 7
For de mere nysgerrige skal hermed præsenteres: