Matematik

Hjælp til bevis for differentialligning logistisk vækst

22. november 2025 af Denstuderende25 - Niveau: A-niveau

Hej SP

Jeg sidder og skal lave et bevis for "Maksimal væksthastighed for den logistiske ligning" i forhold til differentialligninger.

Jeg har svært ved at finde ud af hvad er den logistiske ligning, hvad er dens løsning og hvordan laver jeg beviset for den.

Jeg har søgt mange gange rundt omkring for logistisk vækst ligningen men jeg kan overhovedet ikke finde den nogen steder, de siger alle sammen noget forskelligt hver gang jeg søger.

Håber nogen kan hjælpe.

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. november 2025 af peter lind

se https://da.wikipedia.org/wiki/Logistisk_funktion

Svar #2
22. november 2025 af Denstuderende25

Tak for det.

Der står på wikipedia-siden, at den logistiske differentialligning er: $y' = ay(M-y)$ , hvor dens løsning er givet til: $y = \frac{M}{1 + c e^{-aMx}}$

Men jeg fandt dog en lille ting på Mat HTX A på systime hvor de siger at ligningen skrives som: $y'=k\cdot y\cdot (a-y)$ , hvor de har angivet dens løsning til at være: $y= \frac{a}{1 + c\cdot e^{-kax}}$ .

Det er bare beviset jeg har brug for/brug for hjælp til, for den her ligning.

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. november 2025 af peter lind

Hvis du gik længere ned på siden, havde du set en alternativ mulighed og løsning på den; nemlig den du selv har fundet.

Bevis for løsningen gøres nemmest ved at gøre prøve, alså sætte den foreslået funktion ind i differentialligningen altså finde y' og derefter sætte y ind i højre side og derefter at reducere udtrykket. Hvis du får det samme på venstre og højre side er det en løsning ellers ikke.

Du kan også direkte regne det ud.ved brug af separation af variable. Du dividere på venstre side med y(a-y) og integrerer og får

∫ 1/[y(a-y)]dy = kx+c

Integralet på venstre side er lidt besværligt så jeg vil anbefale at du gør prøve

Svar #4
22. november 2025 af Denstuderende25

Tak for hjælpen

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. november 2025 af mathon

Hvis du kender
"panser"-formlen kan du løse den.

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. november 2025 af mathon

Det kræver dog lidt forudgående omskrivning:

$\begin{array}{llllll} y{\,}'=a\cdot y\cdot (M-y)\qquad 0<y<M \end{}$

her sættes
$\begin{array}{llllll} y=\frac{1}{u} \end{}$
$\begin{array}{llllll} y{\,}'=-\frac{1}{u^2}\cdot u{\,'} \end{}$

hvoraf
$\begin{array}{llllll} -\frac{1}{u^2}\cdot u{\,'}= a\cdot \frac{1}{u}\cdot \left(M-\frac{1}{u} \right ) \end{}$

der multipliceres med $\begin{array}{llllll} u^2 \end{}$ $\begin{array}{llllll} \textup{:} \end{}$

$\begin{array}{llllll} -u{\,'}=a\cdot (M\cdot u-1)\\\\ u{\,}'=a\cdot (1-M\cdot u)\\\\ u{\,}'+aM\cdot u=a \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. november 2025 af mathon

som løst med "panser"-formlen
giver:
$\begin{array}{llllll} u=C_1\cdot e^{-aM\cdot x} +\frac{a}{aM}\\\\ u=C_1\cdot e^{-aM\cdot x} +\frac{1}{M}\\\\ \frac{1}{u} =\frac{1}{\frac{1}{M}+C_1\cdot e^{-aM\cdot x}}\qquad \textup{med }C=M\cdot C_1\\\\\\ y=\frac{M}{1+C\cdot e^{-aM\cdot x}} \end{}$

Skriv et svar til: Hjælp til bevis for differentialligning logistisk vækst

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.