Matematik

Vis at funktionen er løsning til differentialligningen - isbjørne i Arktis

26. november 2025 af Denstuderende25 - Niveau: A-niveau

Hej SP

Jeg har brug for hjælp til delopgave a) og c) i nedenstående skærmbillede.

Jeg har selv prøvet at beregne for opgave b) , ved at skrive således i ligningen: $1200 = \frac{800}{1 + c\cdot e^{-0.088\cdot 0}}$

Jeg satte startbetingelsen til at være y(0)=1200.

og så har jeg løst ligningen med maples solve-kommando

Den originale ligning er: $y(t)= \frac{800}{1 + c\cdot e^{-0.088\cdot t}}$

Jeg har beregnet opgave b) til at være -0.3333333333. Ved ikke om dette er korrekt (hvis I har kommentarer til dette også må i gerne komme med dem).

Men det er primært opgave a) og b) jeg har brug for hjælp til. Jeg ved ikke hvordan jeg skal gribe dem an. Jeg prøvede at gøre prøve i opgave a), men endte ikke korrekt.

Håber nogen kan hjælpe. På forhånd tak!

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2025-11-26 131708.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. november 2025 af ringstedLC

Brugbart svar (0)

Svar #2
26. november 2025 af ringstedLC

a) Omskriv diff.-ligningen så den får form som i https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2099480 (din forrige opgave) og brug så samme metode.

Brugbart svar (1)

Svar #3
26. november 2025 af ringstedLC

b) Indsæt dit resultat (-1/3), tegn funktionens graf og overvej dit resultat.

Tip hvis du undrer dig over at grafen aftager: Tænk over hvilket dyr der især omtales, når talen kommer ind på global opvarming/isen smelter.

Brugbart svar (1)

Svar #4
26. november 2025 af ringstedLC

c) Fald i den 40-årige periode efter 2016:

$\begin{align*}\frac{y(0)-y(40)}{y(0)}\cdot 100\% &\overset{?}{\approx}30\% \end{}$

Igen: Se på grafen!

Svar #5
26. november 2025 af Denstuderende25

#2
a) Omskriv diff.-ligningen så den får form som i https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2099480 (din forrige opgave) og brug så samme metode.

Først og fremmest, tak for svar til alle

Altså det er givet hvad y' er: $y\prime=y\cdot(0.088-0.00011\cdot y)$

Er det ikke på samme form som $y\prime=a\cdot y\cdot (M-y)$ ?

Jeg forstår ikke helt hvad jeg skal gøre.

Brugbart svar (0)

Svar #6
26. november 2025 af ringstedLC

#5 Joh..., når man har hevet a ud af parentesen.

Svar #7
26. november 2025 af Denstuderende25

Undskyld,men jeg er ikke helt med om hvad skal jeg gøre herfra..

Jeg kan ikke "bare" trække a ud af parentesen...?

Svar #8
26. november 2025 af Denstuderende25

Kan jeg bruge panser-formlen her?

Brugbart svar (0)

Svar #9
26. november 2025 af ringstedLC

$\begin{align*} y' &= y\cdot\bigl(0.088-0.00011\,y\bigr) \\ &= y\cdot\bigl(a\,M-a\,y) \\ y' &= a\,y\cdot\bigl(M-y\bigr) \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #10
26. november 2025 af mathon

først bruger du

$\begin{array}{llllllll} y{\,}'(t)=a\cdot y(t)\cdot (M-y(t))= y(t)\cdot (a\cdot M-a\cdot y(t))=y(t)\cdot (0.088-0.00011\cdot y(t)) \end{}$

med

$\begin{array}{llllllll} y(0)=1200 \end{}$

hvoraf

$\begin{array}{llllllll} a\cdot M=0.088\qquad a=0.000111 \end{}$

og
$\begin{array}{llllllll} M=\frac{a\cdot M}{a}=\frac{0.088}{0.00011}=800 \end{}$

dvs

$\begin{array}{llllllll} y(t)=\frac{M}{1+C\cdot e^{-a\cdot M \cdot t}}=\frac{800}{1+C\cdot e^{-0.088\cdot t}} \end{}$

som for
t=0 giver:
$\begin{array}{llllllll} y(0)=\frac{800}{1+C\cdot e^{-0.088\cdot 0}}=\frac{800}{1+C\cdot e^{-0.088\cdot 0}}\\\\ 1200=\frac{800}{1+C\cdot 1}\\\\ 1+C=\frac{800}{1200}=\frac{2}{3}\\\\ C=\frac{2}{3}-1=\frac{2}{3}-\frac{3}{3}=-\frac{1}{3} \end{}$

hvoraf

$\begin{array}{lllllll} y=\frac{800}{1-\frac{1}{3}\cdot e^{-}0.088\cdot t} \end{}$

Svar #11
26. november 2025 af Denstuderende25

Tak for det!

hmm... Jeg forstår ikke helt den første formel..

Kommer den fra noget specifikt sted eller... det var nok den formel: $y\prime=a\cdot y\cdot (M-y)$

Brugbart svar (0)

Svar #12
26. november 2025 af mathon

#11
se
https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2099480 #6

i linje 2.

Svar #13
26. november 2025 af Denstuderende25

Hvad betyder 0 < y < M ift. matematikken?, betyder det noget ift. ligningen?

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2025-11-26 210655.png

Brugbart svar (0)

Svar #14
26. november 2025 af mathon

#13

Det betyder for

$\begin{array}{llllll} y{\,}'=\frac{dy}{dt}=a\cdot y\cdot (M-y)>0 \end{}$

hvilket viser, at
funktionen
$\begin{array}{llllll} y(t)=f(t)\textup{ er voksende i hele sin definitionsm\ae ngde.} \end{}$

Svar #15
26. november 2025 af Denstuderende25

Ok.

Tusinde tak for jeres hjælp! Værdsætter det meget.

Svar #16
27. november 2025 af Denstuderende25

#4
c) Fald i den 40-årige periode efter 2016:

$\begin{align*}\frac{y(0)-y(40)}{y(0)}\cdot 100\% &\overset{?}{\approx}30\% \end{}$

Igen: Se på grafen!

Undskyld jeg spørger lige igen, men jeg har fået resultatet til at være 32.66901360%

Er det korrekt?

Svar #17
27. november 2025 af Denstuderende25

Ligemeget, I behøver ikke at svarer på det. Fandt ud af det :)

Skriv et svar til: Vis at funktionen er løsning til differentialligningen - isbjørne i Arktis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.