Matematik

Matematik - konvergens

19. maj 2005 af Export (Slettet)

Hejsa.

På side 3 og 4 på http://home.imf.au.dk/matkt/notedir/opg02.pdf vil jeg gerne have hjælp til at løse Opgave 4, Spørgsmål (3) og (4). Jeg ved ikke rigtig hvordan jeg skal gøre i nogen af dem.

Svar #1
19. maj 2005 af Export (Slettet)

Det er godt nok deprimerende, hvis der ikke er nogen som kan hjælpe mig :-)

Svar #2
19. maj 2005 af Export (Slettet)

Så vil jeg da opdatere tråden i håb om at der nu skulle være nogle kompetente folk, der gider hjælpe mig.

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. maj 2005 af 404error (Slettet)

Nå, jeg troede ellers du havde løst den, siden din gamle tråd gik død? Nuvel, hermed et par hints.

I første opgave del af (3), benyt at

log(n)/n > 1/n, n>=2

og gør brug af sammenligningskriteriet. I denne sammenhæng er det acceptabelt at antage det for kendt, at sum(1/n) er divergent. I anden del af (3), betegn

a_n := log(n)/n, b_{nk}:=(1-1/k)^n.

Så gælder for ethvert k og m>k

sum(a_n*b_{nk})>sum(a_n*b_{nn}).

Eftervis dette! Grænseværdien lim b_{nn} eksisterer og er velkendt (overvej!). Specielt er den positiv, hvoraf det søgte resultat let udledes. Som en interessant sidebemærkning til den opgave, prøv at overveje grænseværdien

lim_k sum(log(n)/n*(-1+1/k)^n)

som faktisk opfører sig ganske anderledes, til trods for at -1+1/k også nærmere sig randen af konvergenscirklen for k gående mod uendelig.

Opgave (4) er endnu lettere. Hvordan forholder det sig med en kontinuert funktion defineret på en kompakt mængde?

Svar #4
19. maj 2005 af Export (Slettet)

"Så gælder for ethvert k og m>k

sum(a_n*b_{nk})>sum(a_n*b_{nn})."

Det kan jeg ikke helt følge, for du bruger da ikke m nogen steder.

Mht. Spørgsmål (4),er jeg ikke helt med.

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. maj 2005 af 404error (Slettet)

Bare glem m'et, det var fordi jeg var en anelse mere specifik i starten, og sidenhen fortrød. Dvs. der skal stå

"Så gælder for ethvert k

sum(a_n*b_{nk})>sum(a_n*b_{nn})"

Mht. spørgsmål 4, hvis h er som angivet i intervallet (-1,1), hvordan kan h(1) så skrives under kontinuitetsantagelsen?

Svar #6
19. maj 2005 af Export (Slettet)

Det hjalp på det!

Mht. (4), så er h(1) = sum(a_n), hvor n løber fra 3 til uendelig, som jeg har vist er divergent. Betyder dette at jeg har vist (4)?

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. maj 2005 af 404error (Slettet)

Ja, derved at en kontinuert funktion defineret på et lukket interval - eller mere generelt, en kompakt mængde - er begrænset. Det er h ikke. Ergo kan h ikke være kontinuert.

Svar #8
19. maj 2005 af Export (Slettet)

Arh, det var smart! Mange tak for hjælpen!

Svar #9
19. maj 2005 af Export (Slettet)

For resten; i #4 skriver du at grænseværdien for n -> uendelig af b_{nn} er positiv. Her mener du vel større end eller lig med nul, ikke, for jeg får netop at dens grænseværdi er nul?

Svar #10
19. maj 2005 af Export (Slettet)

Ups, i #3.

Brugbart svar (0)

Svar #11
19. maj 2005 af 404error (Slettet)

Det er ikke korrekt. Er grænseværdien

(1+1/n)^n for n -> infinity

dig velkendt? Det burde den være. Prøv at relatér ovenstående størrelse til b_{nn}.

Svar #12
19. maj 2005 af Export (Slettet)

Øhhh ... i #3 skriver du også (1-1/n)^n.

Svar #13
19. maj 2005 af Export (Slettet)

Ups ... min fejl ... går den ikke mod 1?

Brugbart svar (0)

Svar #14
19. maj 2005 af 404error (Slettet)

Ja, og det står jeg ved - mit forslag er jo netop, at du prøver at sammenholde grænseværdien af denne størrelse med grænseværdien i #11. Grænseværdien i #11 er velkendt, og af den vil du være i stand til at bestemme lim_n b_{nn}.

Svar #15
19. maj 2005 af Export (Slettet)

Nu har jeg sat computeren til at beregne grænseværdien, og den siger at b_{nn} -> 1/e for n -> uendelig. Jeg ved bare ikke rigtig hvordan jeg skal bruge dit hint.

Svar #16
19. maj 2005 af Export (Slettet)

Jeg ved godt at pr. definition er

e = lim_{n=uendelig} (1+1/n)^n,

men jeg kan ikke lige få det hen.

Brugbart svar (0)

Svar #17
19. maj 2005 af 404error (Slettet)

Hintet i #3?

Brugbart svar (0)

Svar #18
19. maj 2005 af 404error (Slettet)

Der gælder

1/(1-1/n)^n = (n/(n-1))^n.

Lav nu et passende skift af variabel.

Svar #19
19. maj 2005 af Export (Slettet)

Jeg er desværre stadig ikke rigtig med.

Brugbart svar (0)

Svar #20
19. maj 2005 af 404error (Slettet)

Sæt m := n-1. Så står der

((m+1)/m)^(m+1)=(1+1/m)*(1+1/m)^m.

Forrige 1 2 Næste

Der er 31 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.