Side 2 - Matematik - konvergens - Matematik

Svar #21
20. maj 2005 af Export (Slettet)

Okay, nu er jeg med på hvordan man viser at grænseværdien af b_{nn} for n gående mod uendelig er 1/e.

Jeg er dog ikke helt med på hvordan jeg viser, at for ethvert k er

sum(a_n*b_{nk})>sum(a_n*b_{nn}).

I grunden; du summer da fra n=3 til uendelig, ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #22
20. maj 2005 af 404error (Slettet)

Nej, det skyldes en beklagelig fejl fra min side - uligheden forudsætter, at

b_{nk} = (1+1/k)^n,

hvilket selvfølgelig ikke er tilfældet. Der må vist andre værktøjer på banen - jeg tager lige et kig i min analysebog ;-)

Svar #23
20. maj 2005 af Export (Slettet)

Okay, var da godt at jeg ikke er helt dum :-)

Brugbart svar (0)

Svar #24
20. maj 2005 af 404error (Slettet)

Så fik jeg lejlighed til at tage et kig i en bog. Der gælder faktisk generelt for en følge {a_n} af ikke-negative tal, at såfremt sum(a_n)=infty, så vil

sum(a_n*x^n) -> infty

for x -> 1-. Så kan du jo spekulere over, hvordan det vises. Det indskrænker i hvert fald betingelserne betragteligt.

Svar #25
20. maj 2005 af Export (Slettet)

Jo, det vil jeg prøve at se på, men mon ikke det også kan gøres nemmere, da det er en eksamensopgave? Man har jo ikke tid til at bevise sådan noget til skriftlig eksamen.

Jeg tænkte på om man kan bruge, at hvis f:(-1,1)->R med f(x)=log(x)/x, så er

int_{3}^{uendelig} f(x)dx = uendelig,

(dette kan jeg godt vise, og dermed løse første del af Spørgsmål (3) på denne måde også)? Så har jeg nemlig en sætning der siger, at da integralet divergerer (mod uendelig), så vil rækken i første del af Spørgsmål (3) også er divergent.

Med hensyn til anden del af Spørgsmål (3), så er mit problem at den omtalte sætning ikke udtaler sig om værdien af rækken (men formodentlig divergerer den mod uendelig), og derfor kan jeg heller ikke rigtig komme videre.

Brugbart svar (0)

Svar #26
20. maj 2005 af 404error (Slettet)

Nu er der tale om et simpel resultat, som alene involverer velkendt epsilon-delta gymnastik. Den slags skal man forhåbentlig kunne demonstrere til eksamen. Ja, du kan godt løse første del af spørgsmål 3 ved integrationstesten, men sammenligningstesten er bestemt at foretrække, som anført i #3.

I anden del af 3 skal du som sagt anvende det resultat, jeg nævner i #24. Undtagelsesvist får du løsningen med forbehold for de fejl, der naturligt nok opstår på det her tidspunkt af dagen. Vi betegner atter

a_n := log(n)/n, b_{nk}:=(1-1/k)^n,

Lad M>0 være givet. Vælg et N, så

sum(a_n, n=3..N) > 2*M.

Vi kan så skrive for et fastholdt k

sum(a_n*b_{nk},n=3..infty)=
sum(a_n*b_{nk}, n=3..N)+sum(a_n*b_{nk}, n=N+1..infty) > sum(a_n*b_{nk}, n=3..N) > b_{Nk}*sum(a_n, n=3..N).

Vælg K så stor, at b_{Nk}>1/2 for k>=K. Slut endelig, at det for ethvert M>0 er muligt at vælge K, så k>=K medfører

sum(a_n*b_{nk},n=3..infty)>M,

hvoraf

lim_k sum(a_n*b_{nk},n=3..infty)=infty

per definition. Som det bør fremgå, er det bestemt ikke svært at generalisere dette til det i #24 nævnte generelle resulat.

Brugbart svar (0)

Svar #27
20. maj 2005 af 404error (Slettet)

Hov ja, det er nok værd at bemærke, at det i #24 selvfølgelig forudsættes at konvergensradius for sum(a_n*x^n) er 1. Min fejlrate tyder vist på, at det er på tide at krybe til køjs ;)

Svar #28
20. maj 2005 af Export (Slettet)

Til #26: Herligt, det var lige det jeg manglede for at få lavet resten af sættet! Rigtig mange tak for hjælpen!

Svar #29
20. maj 2005 af Export (Slettet)

For resten, så har jeg lige et lille spørgsmål til #7: Hvorfor er det lige at h ikke er begrænset? Vi har jo kun fundet ud af at h(1) (og dermed h) ikke er divergent, eller er jeg forkert på den?

Jeg ved godt at

konvergens => begrænsethed,

med jeg mener da ikke at

divergens => ubegrænsethed,

eller passer det ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #30
20. maj 2005 af 404error (Slettet)

Pas på med terminologien. Konvergens og divergens bør anvendes om følger og rækker, ikke funktioner. Du har fundet ud af, at en kontinuert funktion h, der er defineret som angivet i opgavesættet nødvendigvis må opfylde

h(x) -> infty for x -> 1-.

Dermed kan h ikke være begrænset. Men en kontinuert funktion defineret på en kompakt mængde er altid begrænset. Altså kan h ikke være kontinuert. Er du med?

Svar #31
20. maj 2005 af Export (Slettet)

Ja, det vil jeg mene. Tak for det!

Matematik

Side 2 - Matematik - konvergens

Skriv et svar til: Matematik - konvergens