Matematik
definitionsmængde - seperation af de variable
g er en løsning til differentialligningen
Der gælder at størsteværdien for g er 50.
Jeg bruger så seperation af de variable hvor vi så antager at y > 1 , da vi ikke kan dele med 0.
jeg får så løsningen
Problemet er så når jeg skal finde definitionsmængden. Vi kan jo se på ligningen at da
er g ≥ 1 , men da vi seperer variabler antog vi at y > 1. MEN når vi kigger på den oprindlige differentialligning, er der intet der forhindrer y i at være 1. SÅ skal man se bort fra den der antagelse man tog da vi sepererede variablerne eller skal jeg fravælge de punkter hvor g(x) = 1 og så bestemme definitionsmængden der fra?
Det giver to forskellige definitionsmængder afhængig af hvordan man læser opgaven.
Svar #1
09. maj 2011 af mathon
omskrivningen er en forudsætning for løsningen,
hvorfor omskrivningen skal være defineret i alle led
hvoraf
dy/dx = -8x3·√(y-1) ⇔ y = (-x4 + C)2 + 1 netop når y > 1
Dm(g) = ]-1;∝]
Svar #2
09. maj 2011 af NejTilSvampe
men mathon, er y = 1 , ikke netop en løsning til differentialligningen ?
y = 1 => dy/dx = 0 , det stemmer da overens.
så hvis nu vi sagde, at vi ikke havde løst den differentialligning mht. seperation af de variable, men at den bare "dukkede op" - Ville det så ikke være en løsning for alle x ??!
Svar #3
09. maj 2011 af NejTilSvampe
dets uden kan jeg ikke liige se dit belæg for den definitionsmængde der.
der må vel bare gælde at
Svar #4
09. maj 2011 af mathon
korrektion til #1
omskrivningen er en forudsætning for løsningen,
hvorfor omskrivningen skal være defineret i alle led
hvoraf
dy/dx = -8x3·√(y-1) ⇔ y = (-x4 - 7)2 + 1
Dm(g) = R
Svar #5
09. maj 2011 af NejTilSvampe
ok, jamen så er vi da enige :D så er spørgsmålet bare hvordan jeg skal redegøre for det så simpelt som muligt :)
Svar #6
09. maj 2011 af Andersen11 (Slettet)
Den oprindelige differentialligning
dy/dx = -8x3·√(y-1) ,
har formelt løsningen
√(y-1) = c - x4 ,
hvor vi må kræve y > 1, og c-x4 ≥ 0 . Disse to betingelser fører til x4 < c .
Desuden skal der gælde y ≤ 50 , dvs 0 < y-1 ≤ 49 , og dermed 0 < c -x4 ≤ 7 , dvs
c-7 ≤ x4 < c
Da maksimumsværdien 50 skal antages, skal der også gælde c-7 ≥ 0.
Vi ser da, at c kan vælges som en arbitrær værdi større end eller lig med 7, og vi får da, at der
for c ≥ 7 , skal gælde c-7 ≤ x4 < c , hvorfor Dm(g) = ]-c1/4 ; -(c-7)1/4] ∪ [(c-7)1/4 ; c1/4[ ,
hvilket for c = 7 forenkles til Dm(g) = ]-71/4 ; 71/4[
Svar #7
09. maj 2011 af NejTilSvampe
#6 - suk.. vi blev lige enige om at den er defineret for alle x !! Det betyder at den eneste begrænsning man skal passe på er at g ≤ 50. Og det medfører en definitionsmængde
Hvad er din begrundelse for at y > 1 nu ?!
Svar #8
09. maj 2011 af Andersen11 (Slettet)
#7
Begrundelsen er, at integration af ∫ dy/√(y-1) forudsætter y > 1 . Dog er jeg villig til at medgive, at kontinuiteten giver belæg for at inkludere y = 1 . Men definitionsmængden er dog ikke hele R, selv om vi ser bort fra maksimumskravet y ≤ 50. For løsningen skal jo tilfredsstille differentialligningen i dens oprindelige form.
Hvis den formelle løsning er
y = 1 + (c -x4)2 , har vi
dy/dx = 2·(c -x4)·(-4x3) = -8x3·(c -x4), og
-8x3·√(y-1) = -8x3·√((c-x4)2) = -8x3·|c -x4|
Opfyldelse af differentialligningen kræver derfor x = 0 ∨ c -x4 = |c -x4| , dvs x = 0 ∨ c -x4 ≥ 0 , dvs x = 0 ∨ x4 ≤ c .
For x4 > c er differentialligningen ikke opfyldt.
Med disse modifikationer ser vi, at konstanten c kan vælges større end eller lig med 7, og for c ≥ 7 fås
Dm(g) = [-c1/4 ; -(c-7)1/4] ∪ [(c-7)1/4 ; c1/4] ,
der for c = 7 reduceres til Dm(g) = [-71/4 ; 71/4]
Skriv et svar til: definitionsmængde - seperation af de variable
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.