Matematik
Hvordan finder man alle stamfunktioner?
Hej alle.
Jeg har brug for hjælp til et eksamensspørgsmål i mundtlig matematik, der lyder:
Gør rede for, hvordan man ud fra en enkelt stamfunktion til en funktion kan finde dem alle, og hvordan man kan være sikker på at have fundet dem alle.
Jeg er ude i at bruge at G(x) og F(x) er lig f(x).
Problemet er bare, at det bevis, jeg har skrevet ned slet ikke giver mening nu.
Jeg kan ikke finde noget om det på nettet (på dansk vel og mærke, jeg forstår endnu mindre når det er på engelsk).
Har jeg fat i det rigtige bevis, og i så fald, er der en venlig sjæl, som vil gennemgå det punkt for punkt?
Hvis ikke, hvad bør jeg så sige om hvordan man finder alle stamfunktioner for en given funktion, og hvordan man er sikker på at have fundet dem alle?
På forhånd tak!
Hilsen Emma
Svar #2
21. maj 2011 af AMelev
Du mangler nogle ' på G og F. Har du kigget omhyggeligt i din bog? Det står i de fleste lærebøger.
Def: H er stamfunktion til f, hvis og kun hvis H'(x) = f(x)
Beviset falder i 2 dele
1) Hvis G(x) = F(x) + k og F er stamfunktion til f, så er G også stamfunktion til f:
Bevis: G'(x) = F'(x) + 0 = f(x) (def.), altså er G stamfunktion til f (def.)
2) Hvis to funktioner G og F begger er stamfunktioner til f, så er G(x) = F(x) + k
Bevis: Hvis G og F begger er stamfunktioner til f, så er G'(x) = F'(x) = f(x) (def.).
Det betyder, at (G-F)'(x) = G'(x) -F'(x) iflg regnereglen for diff. af sum/differens.
Så er altså (G-F)'(x) = 0, da G'(x) = F'(x) = f(x) (Def.). Dermed kan du slutte, at (G-F)(x) er en konstant funktion, da en konstant funktion er den eneste, der har tangenthældning på 0 i alle x-værdier. Det er ikke sikkert, at I har vist det, men det giver god mening, når man tænker på differentialkvotient som tangenthældning.
(G-F)(x) = k <=> G(x) - F(x) = k <=> G(x) = .... så er den hjemme
Svar #3
22. maj 2011 af Emmag (Slettet)
Det er præcis det jeg har skrevet, men manglede bare forklaringen på hvorfor, så tusind tak for hjælpen!
Skriv et svar til: Hvordan finder man alle stamfunktioner?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.