Integration ved substitution

Det er jo samme metode, der benyttes i begge tilfælde. Notationen er blot lidt forskellig. Man sætter jo

t = g(x), så dt = g'(x) dx , hvorved

∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(t) dt

 Det er fordi at ved den metode du forslår udøver du et "ulovligt" indgreb på notationen  dt/dx . Idet at du ganger dx over på den anden side. Dette er ulovligt fordi dt/dx IKKE er en brøk, det er et symbol, og dx skal forstille at være en størrelse der er 0, og vi må jo ikke gange med 0 på begge sider. 

MEN, den metode som din bog bruger er et slags bevis på at sætningen med at gange dx over på den anden side ER iorden. Det er ikke det man reelt gør, men man kan "lege" man gør det, og man ender med samme resultat.

Du må gerne bruge den metode du selv forslog til eksamen, faktisk opfordrer jeg til det :) Men til den mundtlige eksamen skal du så lige redegøre HVORFOR det er iorden at gange dx over på den anden side =)

dx er jo infinitesmal og dermed ikke nul.

dt / dx er da en brøk med infinitesmale størrelser. Ellers har jeg misforstået noget.

Det må du lige uddybe.

Og hvordan forklarer jeg, at det i orden at bruge min metode?

 dt/dx er et symbol, ikke en brøk. Det er den korte forklaring. 

Det kan bevises at det er iorden, men.. du kan ikke bare "antage" det uden at bevise det jo.

beviset står nok i din bog. Ellers har jeg lavet det engang et sted på SP.. ser lige om jeg kan finde det.

Rettelse: Sådan jeg fandt tråden :)

www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx

Umiddelbart ser det lidt omfattende ud.

Jeg kan ikke forstå, hvorfor det ikke er en brøk. Det er jo blot grænseværdien for differenskvotienten, som er en brøk

ja differenskvotienten er tydeligvis en brøk. og ordet differentiakvotienten (kvotient betyder forhold) kan også virke misvisende kan jeg godt se.

men når du tager grænseværdien fra delta x gående mod nul skal du altså behandle "brøken" som et symbol. Jeg har ikke rigtig ekspertisen til at forklare dig hvorfor desværre :S Jeg har altid fået forklaringen at det er fordi hvis delta x er gående mod 0 må vi ikke gange med delta x på begge sider. Har heller aldrig selv syntes det var en særlig fyldest gørende forklaring, men hey...

Kan du ikke få en forklaring fra din lærer. Jeg ser nemlig ikke min før efter sommerferien :) Du har været til stor hjælp

 jeg er 3.g'er jeg har læseferie. ser heller ikke min lærer =)

Hvor sikker er du på, at dy/dx er et symbol og ikke en brøk?

 vældig sikker =)

   ...dy/dx er både et symbol og en kvotient

#9

Differentialkvotienten er, som NejTilSvampe præciserer det, et symbol og ikke en brøk i traditionel forstand. Symbolet blev indført af Leibniz' skole som grænseværdien for differenskvotienten. Hvis y = f(x) er en funktion, skriver vi dy/dx = f'(x) ; men dy/dx skal ikke forstås som en brøk i sædvanlig forstand. Der gælder jo netop alle de særlige regneregler for differentialkvotienter, som man lærer i pensum om differentiable funktioner. For eksempel

d(fg) = g·df + f·dg

I nogle henseender opfører differentialerne sig dog som klassiske brøker, f.eks. ved variabelskift:

y = f(x) , x = u(t)

dy/dt = (dy/dx)·(dx/dt) , hvor det ser ud som om vi blot forlængede med dx/dx = 1 . Her udtrykkes sætningen for differentiation af en sammensat funktion

y = f(x) = f(u(t)) , dy/dt = f'(u(t))·u'(t) = f'(x)·u'(t) .

Hvis man i et integral laver en substitution t = g(x) , har man dt/dx = g'(x) , og symbolsk kan vi skrive dt = g'(x) dx .

    ...men det er også en kvotient mellem differentialer...      (hvilket tydeliggøres i betegnelsen)

Man kan godt fortolke dy/dx som en brøk af infinitesemale størrelser.