Integration m. skift variabel

Det kaldes substitution. Hvis x = g(u) er en monoton funktion af u , har vi at u = g^-1(x) er en monoton funktion af x , og dermed dx = g'(u) du

_a∫^b f(x) dx = _α∫^β f(g(u)) g'(u) du , hvor α = g^-1(a) og β = g^-1(b)

lille rettelse
                               hvor
                                            u = g(x)
og dermed
                                            α = g(a)      og     β = g(b)

substitution kan benyttes
når
                integranden er på formen
                                                                f(g(x))·g '(x)
da
                              
               (F(g(x)) ' = f(g(x))·g '(x)              hvilket betyder, at
 
               F(g(x))    er en stamfunktion til     f(g(x))·g '(x)
hvoraf
               ∫  f(g(x))·g '(x)dx = F(g(x)) + k
og
          _a∫^b f(g(x))·g '(x)dx = [F(g(x))]_a^b = F(g(b)) - F(g(a))  =  [F(u)]_α^β = _α∫^β F(u)du    når α = g(a) og β = g(b)

...............

i praksis opnår man omskrivningslettelsen

              _a∫^b f(g(x))·g '(x)dx = _α∫^β F(u)du               ved at anvende 
                                                                                                                 

                 1)      g(x) = u

                 2)      g '(x)dx ) = du

                 3)     g(a) = α     g(b) = β

simpelt eksempel

                    ₀∫¹ 8x·(4x²+5)³dx

....

                    ₀∫¹ 8x·(4x²+5)³dx   =   ₀∫¹ (4x²+5)³·8xdx

                      1)      4x²+5 = u = g(x)

                      2)      8xdx  = du

                      3)     g(0) =  5     g(1) = 9

hvoraf
 

                   ₀∫¹ (4x²+5)³·8xdx   =   ₅∫⁹ u³·du   =   (1/4)·[u⁴]₅⁹  =  (1/4)·(9⁴ - 5⁴)  =  1484
 

rettelse af tastfejl i linje 13 i #3

                        _a∫^b f(g(x))·g '(x)dx = _α∫^β F(u)du               ved at anvende

rettes til

                        _a∫^b f(g(x))·g '(x)dx = _α∫^β f(u)du                ved at anvende

                    #3 er at opfatte som et uddybende supplement til #1
 

Hmm... Det er jeg nu bare ikke sikker på. Se 0:50 i følgende video:
http://www.youtube.com/watch?v=138RBJETH1U&feature=related
Det er et bevis for taylors formel for ekspansion af en funktion vha. polynomier og for at bevise skal man integrere f(x) fra 0 til x. Men så skriver han pludselig Integ(f(u)du). Er det bare for, at man ikke skal blive forvirret over, at der integreres med hensyn til x og fra 0 til x? 

    ...det er meget almindeligt at gøre

 Jamen er det bare for at undgå forvirring? Der er ikke nogen dybere årsag? 

         ...ikke i denne situation

...

eks

               ln(x) = ₁∫^x (1/x)dx      skrives gerne

               ln(x) = ₁∫^x (1/u)du     for at undgå en eventuel - som at dig påpeget - forvirring
                                               med hensyn til variabel og øvre grænse