Vise normen for vektor i et underrum

I opg. 2.2 tror jeg ikke du skal argumentere for at x er en vektor i U. Som jeg læser spørgsmålet, skal du vise at der for alle x i U gælder at x kan skrives som

x = (x•v₁)v₁ + ... + (x•v_p)v_p

Til at starte beviset kan du benytte at da x∈U, kan x skrives som

x = c₁v₁ + ... + c_pv_p

For c_k∈R, k=1...p.

For et vilkårligt j=1...p gælder derfor at

x•v_j = (c₁v₁ + ... + c_pv_p)•v_j = (c₁v₁)•v_j + ... + (c_pv_p)•v_j = c_j

Da der for et vilkårligt j=1...p gælder at c_j=x•v_j, er det ønskede vist.

Du skal nok skrive flere kommentarer til beviset i din besvarelse, men logikken er som ovenstående

Tak for dit svar! Jeg er dog ikke helt med på, hvordan du kommer frem til, at

x•v_j = (c₁v₁ + ... + c_pv_p)•v_j = (c₁v₁)•v_j + ... + (c_pv_p)•v_j = c_j Kan du evt. prøve at forklare det nærmere? Er det bare fordi, du pr. definition ved, at prikproduktet mellem to vektorer bliver en konstant?

 At

(c₁v₁ + ... + c_pv_p)•vj = (c₁v₁)•v_j + ... + (c_pv_p)•v_j

skyldes lineariteten af prikproduktet.

Grunden til at

(c₁v₁)•v_j + ... + (c_pv_p)•v_j = c_j

er at (v₁, v₂, ..., v_p) er et ortonormalt sæt og der gælder derfor at

v_i•v_k = 0   for i≠k   og

v_i•v_k = 1 for i=k

Mange tak for hjælpen!

Kan du forresten også forklare mig følgende?

U = {x=(x₁,x₂,x₃,x₄)∈R⁴|x₁=x₂} er et underrum af R⁴ (det er jeg med på)

Jeg skal så vise, at underrumet U er en hyperplan i R⁴ og bestemme en normalvektor til U.

Jeg har fx vektoren a = (a_1,a₁,a₂,a₃} ∈U. Hvordan skal jeg finde en normalvektor? I rettevejledningen til opgaven står der, at man benytter vektoren v = (-1,1,0,0), men er der en stringent måde, hvorved jeg kan finde frem til denne ud over, at jeg kan se, a•v=0 (efter jeg har fået den opgivet).

Derefter skal jeg bestemme 3 vektorer p,q og r, så U = span{p,q,r} - hvordan gør jeg det?

Som du skriver, ved du at normalvektoren skal være ortogonal på en vilkårlig vektor i U. Dvs. at

a•v = a₁*v₁ + a₁*v₂ + a₃*v₃ + a₄*v₄ = 0

og det skal gælde for en vilkårlig vektor a i U. Af udtrykket kan du direkte aflæse at v må være på formen

v = (-c, c, 0, 0)

hvor c ∈ R, c ≠ 0. At de så vælger v=(-1,1,0,0) i rettevejledningen, er primært fordi den er nem at arbejde med. I princippet er v=(-23, 23, 0, 0) ligeså god en normalvektor.

Når du skal vælge 3 vektorer der udspænder U, ved jeg ikke om der er en maskinel fremgangsmåde, men det er umiddelbart klart at vektorerne

p=(1,1,0,0)   og   q=(0,0,1,0)   og   r=(0,0,0,1)

må udspænde U.

Tak for din hjælp!