Udregn

#0

Opg. 13:

a) Indsæt N = 100.

b) Løs differentialligningen og udnyt N(30) = 103 til at finde konstanten c .

Opg. 14:

a) Brug Pythagoras' læresætning til at finde et udtryk for volumenet V. Herefter indsættes x og y.

b) Find først et udtryk for y ud fra din viden om at rumfanget er V = 1 m³ . Dernæst indsættes y i udtrykket for overfladearealet.

c) Løs ligningen O'(x) = 0

Til besvarelse af opg. 14, kan du evt. se følgende link:

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1054662

generelt
                 differentialligningen
                                                                  dy/dx = a·y·(M-y)
                 har løsningen
                                                                  y(x) = M/(1+Ce^-aMx)                   

hvor
          C er en integrationskonstant
         

 #1: Hvad står d for? Når jeg har indsat N er det eneste som jeg ikke har tal på t men tiden skal jeg ikke bestemme for jeg skal bestemme væksthastigheden. Jeg ved ikke rigtig hvad jeg skal gøre.

 #1: Kan man ikke bare lave figuren om til en firkant gange x'erne og y'et sammen og dividere med 0,5 for at finde rumfanget?

#4

Hvad mener du med "d" ?? Der er tale om en ligning, hvori indgår N(t), og den afledede dN/dt = N'(t) . Dette kaldes en differentialligning. Denne type differentialligning kaldes den logistiske differentialligning. Beregn først dN/dt til det tidspunkt, hvor N(t) = 100 . Løs dernæst differentialligningen.

#3

som i den foreliggende opgave

giver
                 differentialligningen
                                                                  dN/dt = N '(t) = 0,00526·N·(209 - N)
                 har løsningen
                                                                  N(t) = 209 / (1+Ce^-1,09934·t)                   gennen  (30 ; 103)
dvs
                                                                  103 = 209 / (1 + Ce^-1,09934·30)

                                                                  103 ≈ 209 / (1 + 4,752·10^-15·C)

                                                                   1 + 4,752·10^-15·C  =  209 / 103 = 2,02913

                                                                   4,752·10^-15·C = 1,02913

                                                                   C = 1,02913 / (4,752·10^-15) ≈ 2,166·10¹⁴
                                                              

                  N(t) = 209 / (1 + 2,166·10¹⁴·e^{-1,09934·  t}  )

#7: kan man ikke bruge grafregneren til at løse dette? Hvis ja, hvordan? 

#1: Hvorfor skal jeg Løs ligningen O'(x) = 0 hvordan fandt du ud af det? Håber du kan uddybe det :)

#9

Opg 14.

Arealet af en ligesidet trekant med sidelængde x er A = x²·(√3)/4 . Beholderens volumen er derfor

V = ((√3)/4)·x²·y

Hele beholderens overflade består af 2 ligesidede trekanter hver med siden x, samt tre rektangler med siderne x og y. Det samlede overfladeareal af beholderen er da

O = 2·A + 3·xy = ((√3)/2)·x² + 3·xy

For beholderen med V = 1 isolerer vi y af 1 = ((√3)/4)·x²·y , hvoraf

y = (4/(√3)) / x² ,

og indsætter det i udtrykket for overfladearealet O til

O(x) = ((√3)/2)·x² + 4·(√3) / x

Man finder så den værdi af x, hvor overfladearealet er mindst muligt, ved at løse ligningen O'(x) = 0

 #10: Hvordan løser jeg O'(x)=0 på en grafregner? 

 Hvad så hvis man vil finde den størst mulig overfladeareal?

#11 og #12

Du indtaster på lommeregneren:

solve(O'(x) = 0,x)

Hvis du ønsker det største mulige overfladeareal indsætter du førstekoordinaten for dit maksimumspunkt i O(x) .