Grænseværdi m. polare Koodinater

sæt de udtryk  for x og y som funktion af de polære koordinater ind i funktionsudtrykket og sæt r ud foran en parentes

så:

r((cosθ)³+(sinθ)³) / r((cosθ)² + (sinθ)²)

Herfra, skal jeg så udregne lim(rcosθ,rsinθ)→(0,0), eller skal der gøres mere ved funktionen inden jeg kan begynde på det?

I tælleren får du r³ og i nævneren r² (udover vinkelafhænigheden). Du kan forkorte med r². Nævneren kan denæst skrives meget kortere

Lige inden jeg går videre, hedder den så:

r((cosθ)³+(sinθ)³) / r((cosθ)² + (sinθ)²) eller:

r(cosθ+sinθ)³ / r(cosθ + sinθ)² ?

.

#4

Nej, det er ikke rigtigt.

x³ + y³ = (r·cos(θ))³ + (r·sin(θ))³ = r³·(cos(θ))³ + r³·(sin(θ))³ = r³·(cos³(θ) + sin³(θ)) , og

x² + y² = (r·cos(θ))² + (r·sin(θ))² = r²·(cos²(θ) + sin²(θ)) = r² .

Se nu på (x³ + y³) / (x² + y²)

Mange tak for det. Det giver mening. Skal bare lige ha' afklaret, hvordan jeg kan have lov til det du gør i nævneren?

r²·(cos²(θ) + sin²(θ)) = r²

Hvordan kan man have lov til det?

#7

Have lov til? Det er en velkendt sætning (Pythagoras), at    

cos²(θ) + sin²(θ) = 1   for ethvert θ .

Det stemmer jo også fint med, at x² + y² = r²