Matematik
y'' + ky' + qy = 0
Vi har lært i dag, at hvis den karakteristiske ligningen har to komplekse rødder, så er løsningen:
y = e^ax(C*cos(bx) + D*sin(bx))
Hvor a,b stammer rødderne
r1 = a + ib, r2 = a - ib
Så hvis for eksempel måske, at rødderne er:
r1 = 3 - i3 og r2 = 3 + i3
Så er b=3 ikke?
Men jeg tænkte på, at hvis man for sjov skrev:
r2 = 3 -i(-3) , r1 = 3 + i(-3)
Så ville med samme tanke jo b=-3. Må man derfor ikke kræve, at rodden er reduceret mest muligt, hvis sætningen skal gælde helt præcist?
Svar #1
27. september 2011 af Andersen11 (Slettet)
Man får løsninger af formen
y = C·e(a+ibx) + D·e(a-ibx) = eax·(C·(cos(bx) + i·sin(bx)) + D·(cos(-bx) + i·sin(-bx)))
= eax·((C+D)·cos(bx) + (C-D)·i·sin(bx))
= eax·(c·cos(bx) + d·sin(bx))
Begge rødder indgår i den generelle løsning, så det er ligegyldigt, om man benytter b eller -b.
Svar #2
27. september 2011 af peter lind
Der gælder cos(-bx) = cos(bx) og sin(-bx) = -sin(bx). Fortegnsforskellen i det sidste kan gå ind i integrationskonstanten så det ændrer faktisk ikke noget.
Der findes kun de 2 rødder, så det kan ikke reduceres
Skriv et svar til: y'' + ky' + qy = 0
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.