Matematik
Opstilling af differentialligning for et radioaktivt henfald og bevis for at henfaldsloven er en løsning til denne
Jeg er i gang med min SRP og har et spørgsmål der lyder "Opstil en differentialligning for et radioaktivt henfald og vis at løsningen bliver henfaldsloven", men er gået i stå!
Her er hvad jeg er nået frem til indtil videre:
For at opstille en differentialligning for et radioaktiv henfald, skal en stofmængde som på et givent tidspunkt rummer N atomer af et radionuklid betragtes.
Det er ikke muligt at vide hvornår en radioaktiv kerne vil henfalde, men i et givent tidsrum men sandsynligheden for at kernen sønderdeles i tidsenheden kalder vi k.
Sandsynligheden for at en kerne henfalder i tidsrummet dt er altså givet ved k*dt.
Hvis der er et stort antal af de samme radioaktive kerner, N, vil den brøkdel af disse der henfalder i løbet af tidsrummet dt være lig produktet af kernetallet, N, og sandsynligheden for at en kerne henfalder i tidsrummet dt, k*dt.
Tilvæksten i antallet, N, i løbet af tidsrummet dt for dN, skal være negativ da N aftager i takt med at kernerne henfalder. Det antal af kerner der er omdannet kan altså udtrykkes på følgende måde:
-dN=N*k*dt
Dette kan nu omskrives til en differentialligning, som beskriver antal sønderdelinger pr. tidsenhed, altså k*N:
-dN=N*k*dt
-dN/dt=N*k
-dN/dt=k*N
Dette er altså en differentialligning for et radioaktivt henfald.
Antallet af sønderdelinger pr. tidsenhed er altså proportionelt med antallet af radioaktive kerne i stofmængden. Dermed er k altså en proportionalitetsfaktor, denne betegnes som henfaldskonstanten.
Ved hjælp af separation af de variable kan min differentialligning omskrives.
Separation af variable betyder at ”man samler udtryk som har med x og udtryk som har med y at gøre, på hver deres side af lighedsstegnet” :
-dN/dt=k*N
dN/N=-k*dt
Nu skal jeg så løse denne differentialligning og i min bog hvor beviset står, står der blot "hvilket ved integration fører til udtrykket N=N0*e^k*t
Hvordan udføres denne integration??
På forhånd tak!
Svar #1
08. december 2011 af dikkelmikkel (Slettet)
Tjah, Hvad er det eneste der sig selv differentieret giver minus en konstant gange sig selv? C*e^-kt
hvor C så bliver nødt til at være N0, da til tiden 0 fremkommer ligningen: N(0) = C*1 <=> C = N0
Giver det mening?
Svar #2
08. december 2011 af nataschaanna (Slettet)
Ikke rigtig..
Hvor får du N(0)=c*1 fra?
Og hvordan ved du at det er det eneste der sig selv differentieret giver en konstant gange sig selv?
Men tak fordi du vil hjælpe!
Svar #3
08. december 2011 af dikkelmikkel (Slettet)
N(0) = C*e^(0)
og e^(0) = 1
, men det ved jeg fordi eksponentialfunktionen er den eneste der giver sig selv differentieret. Her som sammensat funktion, altså den ydre differentieret er jo e^(kx) (sig selv) og den indre differentieret ganget på giver:
-k, de skal jo ganges sammen: -ke^(-kx).
For at opsummere, så gætter man, og det er et godt gæt.
Alternativt kan man bruge Panserformlen:
x(t) = exp(-P(t))*∫exp(P(t))*q(t) dt + C*exp(-P(t))
Hvis din ligning er skrevet på denne form: x ' (t) +p(t)*x(t) = q(t)
hvor P(t) er integralet af p(t)
Svar #4
09. december 2011 af nataschaanna (Slettet)
Hvorfra ved du at du skal tage c*e^k*t og differentiere det?
Og hvordan får du udregningerne til at se ud? Jeg ville umiddelbart mene at den indre funktion er -k*x og at den ydre er c*e^x og hvis det er tilfældet får jeg følgende når jeg prøver at udregne det vha. kædereglen:
g(x) =-k*x
g'(x)=-0*1=0
f(x)=c*e^x
f'(x)=e^x
og hvis det så indsættes i s'(x)=f((g(x)))'=f'(g(x))*g'(x):
s'(x)=c*e^(-k*x)*0=e^(-k*x)*0=0*e^(-k*x)
Jeg får den altså til 0*e^(-k*x) og så kan jeg bare indsætte c og t eller hvad? c*e^(-k*t).
Svar #5
09. december 2011 af mathon
-dN/dt=k·N
(1/N)·(dN/dt) = -k som integreres med hensyn til t på begge sider
∫ (1/N)·(dN/dt)dt = ∫ -k dt
∫ (1/N)·dN = ∫ -k dt
ln(N) = -k·t + ln(No)
N = e-k·t·No
N = No·e-k·t
Svar #6
09. december 2011 af nataschaanna (Slettet)
Hvordan får du -dN/dt=k·N til at blive (1/N)·(dN/dt) = -k?
Svar #8
09. december 2011 af nataschaanna (Slettet)
Selvfølgelig!
Er der en der lige vil tjekke det hele igennem og se om det ser fornuftigt ud?
Skriv et svar til: Opstilling af differentialligning for et radioaktivt henfald og bevis for at henfaldsloven er en løsning til denne
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.