Integration ved substitution - opgave

Hvordan er det, I gør i gymnasiet?

Hvis vi nu vælger en u=2+ln(x), da er du/dx=1/x, hvorfor vi har, at du=1/x dx.

Er du med så langt? Når du så har, at

∫(2+ln(x))/(x)dx=∫u/xdx,

hvor du lige husker dx, kan du altså indsætte 1/x dx, så

∫(2+ln(x))/xdx=∫u/xdx=∫u du=1/2*u²+k,

idet vi blot har integreret u. Indsæt nu u, så

∫(2+ln(x))/xdx=1/2*(2+ln(x))+k,

hvormed vi er færdige.

Bemærk venligst, at det selvfølgelig skal være 

∫(2+ln(x))/xdx=1/2*(2+ln(x))²+k,

Potenserne virker ikke så imminent i Google Chrome-browseren. 

Andet havde heller ikke været i overensstemmelse med resten af beregningerne, men nu er der gjort opmærksom på det!

Mange tak skal du ha' ! Jeg har kæmpet i lang tid, men nu forstod jeg endelig .

Jeg har lige nednu et spørgsmål i samme kategori. Jeg skal løse en ligning på TI-89, men det vil ikke rigtig lykkes for mig.

Opgaven er som følger: Det areal der begrænses af linjen med ligningen y=ax og grafen for f(x)=3x² er lig med 5. Beregn a.

Jeg har gjort følgende: solve( ∫ ax-3x²,x)=4,a). Men det er ikke rigtigt ! :(

Nogen der har et forslag til hvordan jeg skal gøre ?

#4

Man skal først finde skæringspunkterne mellem de to funktioners grafer, ved at løse ligningen

3x² = ax , dvs

x·(3x - a) = 0 , dvs

x = 0 ∨ x = a/3

Løs nu ligningen (under antagelsen a > 0)

₀∫^a/3 (ax - 3x²) dx = 5

Det lyder meget rigtigt !

Men jeg kan ikke finde ud af løse ligningen.

#6

Find en stamfunktion til funktionen ax - 3x² og indsæt øvre og nedre grænse:

₀∫^a/3 (ax - 3x²) dx = [ax²/2 - x³]^a/3₀ = a·(a/3)²/2 - (a/3)³ = a³/9·(1/2 - 1/3) = a³/54

Løs nu ligningen a³/54 = 5 (under antagelsen a > 0).

Hvis det i stedet antages, at a < 0 , fås

-a³/54 = 5

Tusind tak ! :)