Matematik
forskellige egenværdier
Lavede lige en opgave med en reel matrix, hvor jeg skulle argumentere for, at den var diagonaliserbar. Det var en 3x3 matrix og jeg fandt 3 egenværdier. I facitlisten stod så, at fordi, at der var 3 forskellige reelle egenværdier, så var matricen diagonaliserbar. Men det forstår jeg ikke. Egenvektorerne skal jo udgøre en basis. Og bare fordi, at man får 3 forskellige egenværdier, er dette da ikke nødvendigvis sandt? Man kunne jo forestille sig, at den tredje egenværdi hørte til et sæt af vektorer, der kunne linearkombineres af de to andre egenvektorer?
Facitlisten har jo nok ret alligevel, så kan nogen sige mig, hvor jeg går galt? :)
Svar #1
15. januar 2012 af peter lind
Hvis egenværdierne er forskellige er deres egenvektorer uafhængige
Svar #2
15. januar 2012 af Mathematica (Slettet)
Okay! Det er gået forbi mit hoved. Hvad følger det af?
Svar #3
15. januar 2012 af peter lind
Lad de 3 egenvektorer være a1, a2, a3 med de forskellige egenværdier λ1, λ2, λ3
Hvis a3 = p*a1+q*a2 vil man få f(a3) = λ3*a3 = λ3*p*a1+λ3*q*a2. Samtidig skal der gælde
f(a3) = f(pa1+q*a2) = p*f(a1) + q*f(a2) = p*λ1*a1+q*λ2a2
Sammenligner du med det ovenstående får du at λ3*p = λ1*p og λ3*q = λ2*q Hvilket for forskellige egenværdier kun holder for p=q=0 og dermed a3 = 0
Skriv et svar til: forskellige egenværdier
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.