Matematik
Integration af 3 funktioner
Jeg kan godt mærke det er 5 år siden jeg sidst havde matematik på B-niveau og siden har jeg ikke rigtig brugt det (måske pånær lidt statistik på andet semester). Derfor er jeg også lidt i tvivl ang. beregning af nedenstående integraler.
Jeg har lidt spørgsmål til alle 3 integraler, som jeg har forsøgt at beregne, så jeg tager dem lige stykvis. I er nogle superhelte, hvis I gider kigge dem igennem sammen med mig. Jeg prøver at notere det så pædagogisk som muligt:
Opgaven lyder "Beregn integralerne":
A) ∫((x^2)+2)*e^((x^3)+6x)dx
Jeg indfører t = x^3+6x
dt/dx = 3x^2+6 ; dx = dt/3x^2+6
Dvs. ∫(x^2+2)*e^t*dt/3x^2+6
= ∫(1/3x^2+6)*(x^2+2)*e^t*dt
Her er mit spørgsmål om jeg kan tillade mig at sige x^2+6 går ud med parentesen x^2+2, således at 3 og (6-2) 4 bliver tilbage? Og i så fald om det skal regnes som 3*4 eller 3+4?
Jeg har antaget at de gik ud med hinanden, og at 3 skal ganges med 4, dvs.
= ∫ (1/12)*(2)*e^t*dt
= ∫ (2/12)*e^t*dt
= (1/6)*e^(x^3+6x) + k
B) ∫(2*e^2x+e^x)/(e^2x+e^x)dx
- det er et bestemt integrale, med øvre grænse ln(2) og nedre grænse 0 (anført i hhv. top og bund af integraltegnet).
Helt overordnet er jeg i tvivl om hvorvidt e^2x+e^x i tæller og nævner ikke går ud med hinanden automatisk, og der dermed blot står e^2x+e^x tilbage eller måske ganske enkelt blot 2?
Anyway, jeg har prøvet at regne det uden at ændre på noget:
Jeg indfører t = e^2x+e^x
dt/dx = 2e^2x+e^x ; dx = dt/2e^2x+e^x
Nye grænser;
Øvre g(ln(2)) = 6
Nedre g(0) = 2
∫(2*e^2x+e^x)/(t) * dt/2e^2x+e^x
Vil de to ens udtryk gå ud med hinanden, således at der tilbage står:
∫1/t*dt ?
I såfald vil stamfunktionen være ln(x), hvilket jeg bestemt ikke kan få til at passe. Ergo må der være en fejl i opgaven.
C) ∫(e^3x-3*e^3)/e^x dx
Jeg indfører t = -3e^x
dt/dx = -3e^x ; dx = dt/-3e^x
∫((e^3x-t)/e^x)*dt/-3e^x
= ∫ (-1/3)*e^3x-t*dt
= (-1/3)*(1/3)e^3x-3e^x
= -1/9*e^3x-3e^x
Er det korrekt? Har jeg substitueret forkert ved at bruge den forkerte funktion?
Svar #1
06. februar 2012 af Maskinen (Slettet)
Du kan altid tjekke dine resultater med et cas-værktøj, f.eks. Wolfram Alpha eller TI InSpire eller TI Interactive.
Svar #2
06. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)
#0
Du bør lære at sætte parenteser og at se på faktorer i udtrykkene.
A)
∫ (x2+2)·ex^3+6x dx , her benyttes substitutionen t = x3+6x , dt = (3x2+6) dx = 3(x2+2) dx
= ∫ (1/3) et dt
= (1/3)·et + k , og så substitueres tilbage igen
= (1/3)·ex^3+6x + k
B) Her går tæller og nævner ikke bare ud mod hinanden, men man får
0∫ln(2) (2·e2x + ex) / (e2x + ex) dx
= 0∫ln(2) (e2x/(e2x + ex) + 1) dx , her kan vi forlænge brøken med e-x , til
= 0∫ln(2) (ex/(ex + 1)) dx + 0∫ln(2) dx , substitution i venstre integral, t = ex + 1 , dt = ex dx
= 2∫3 (1/t) dt + 0∫ln(2) dx
= [ln(t)]32 + [x]ln(2)0
= ln(3) - ln(2) + ln(2) -0
= ln(3)
Svar #3
06. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)
#0
C) Her er der ingen grund til substitution, hvis det ellers er skrevet korrekt op:
∫ (e3x - 3e3) / ex dx , her kan man forkorte brøkerne med ex
= ∫ (e2x - 3e3·e-x) dx , leddene kan umiddelbart integreres,
= (1/2)·e2x + 3e3·e-x + k
Prøv generelt at gøre brug af redigeringsfaciliteterne til at gøre det mere tydeligt. Benyt knappen X2 til indeks og knappen X2 til eksponenter.
Svar #4
06. februar 2012 af Auramin (Slettet)
Hej Torben
Tak for dine uddybende svar!
Jeg havde ikke lige bemærket, at man kunne benytte X2 og x2- det gør det noget nemmere at få tingene skrevet rigtigt ind. Som du selv er inde på, er opgave C ikke opgivet korrekt (Jeg må være blevet væk i de mange ^'er).
∫ (e3x - 3ex) / ex dx
Det er pga. de 3 faktorer at jeg har forsøgt at substituerere. Vores underviser gik meget hurtigt henover det ved sidste undervisningsgang, hvorfor jeg nu prøver at få lidt hoved og hale på det herhjemme fra. Dine svar er guld værd for forståelsen - tak!
Svar #5
06. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)
#4
Vedr. den omformulerede Opg C), så ændrer det ikke ved, at man kan forkorte med ex :
∫ (e3x - 3ex) / ex dx = ∫ (e2x -3) dx = (1/2)·e2x -3x + k
Du er også velkommen til at markere med knappen "Brugbart svar" , hvis du synes, at et svar har været brugbart.
Svar #6
06. februar 2012 af Auramin (Slettet)
#2
Jeg tror ikke helt, at jeg forstår hvorfor (2·e2x + ex) / (e2x + ex) dx bliver til (e2x/(e2x + ex) + 1) dx - hvor kommer +1 fra?
Svar #7
06. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)
#6
Det kommer frem, ved at brøkens tæller splittes op:
(2·e2x + ex) / (e2x + ex) = (e2x + e2x + ex) / (e2x + ex)
= e2x / (e2x + ex) + (e2x + ex) / (e2x + ex)
= e2x / (e2x + ex) + 1
= ex / (ex + 1) + 1
Skriv et svar til: Integration af 3 funktioner
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.