Matematik
jeg fatter det ikke - mat
14. august 2005 af
niqo (Slettet)
Hej "venner" der er et bevis som sagtens godt kan se hvorfor, men kan bare ikk sige det ¨bevise det på den måde som min lærer vil ha den på. han vil have jeg forklare hvad der sker fra hvert lighedstegn og det er jeg ikk specialt god til
er der nogle superhelte der har gennemgået det her før, så vil jeg meget gerne have hjælp.
(a/b)^r = a^r/b^r
er der nogle superhelte der har gennemgået det her før, så vil jeg meget gerne have hjælp.
(a/b)^r = a^r/b^r
Svar #1
14. august 2005 af Waterhouse (Slettet)
(a/b)^r
er lig
(a/b)*(a/b)*(a/b)*...*(a/b)
hvor a/b optræder r gange. Nu står vi med en masse brøker, adskilt af gange-tegn, og på grund af reglerne for multiplikation af brøker får vi:
(a*a*a*...*a)/(b*b*b*...*b)
hvor a og b optræder r gange hver. Men a*a*a*...*a er det samme som a^r, og samme argument kan føres for b. Derfor må vi stå tilbage med a^r/b^r.
er lig
(a/b)*(a/b)*(a/b)*...*(a/b)
hvor a/b optræder r gange. Nu står vi med en masse brøker, adskilt af gange-tegn, og på grund af reglerne for multiplikation af brøker får vi:
(a*a*a*...*a)/(b*b*b*...*b)
hvor a og b optræder r gange hver. Men a*a*a*...*a er det samme som a^r, og samme argument kan føres for b. Derfor må vi stå tilbage med a^r/b^r.
Svar #3
14. august 2005 af Epsilon (Slettet)
Det argument, som Waterhouse giver i #1, er i orden, hvis eksponenten r er positiv og heltallig. Om det er tilfældet, skal jeg ikke kunne sige; det må spørgeren vide. Tillader man, at r er heltallig, kan nedenstående argument bruges.
Lad r E Z og a,b E R\\{0}. Da gælder, at
(a/b)^r = a^r/b^r (1)
BEVIS:
a) r = 0.
Vi har (a/b)^r = a^r = b^r = 1 per definition, og (1) gælder.
b) r E N.
Vi bruger induktion over n. Tilfældet r = 1 er oplagt. Antag så, at (1) gælder for et givet r = n, dvs.
(a/b)^n = a^n/b^n
For r = n+1 får vi da:
(a/b)^(n+1) =
[(a/b)^n]*(a/b) =
[a^n/b^n]*(a/b) =
a^(n+1)/b^(n+1)
idet vi benytter induktionsantagelsen ved andet lighedstegn. Så per induktion gælder (1) for r E N.
c) Tilfældet r E Z- (de negative hele tal) håndteres på helt tilsvarende vis, som under b), thi hvis r E Z-, så gælder, at -r E N, og
(a/b)^r = (b/a)^(-r)
a^r/b^r = b^(-r)/a^(-r)
Tillader man, at a = 0, så giver (1) stadigvæk mening, så længe r = 0 (med konventionen 0^0 = 1) eller r E N. Dette tilfælde er dog indlysende kedeligt. Mere interessant er r E Q eller endda r E R; disse tilfælde kan dog ikke håndteres som ovenfor, og man må ty til andre metoder, fx logaritmer.
//Singularity
Lad r E Z og a,b E R\\{0}. Da gælder, at
(a/b)^r = a^r/b^r (1)
BEVIS:
a) r = 0.
Vi har (a/b)^r = a^r = b^r = 1 per definition, og (1) gælder.
b) r E N.
Vi bruger induktion over n. Tilfældet r = 1 er oplagt. Antag så, at (1) gælder for et givet r = n, dvs.
(a/b)^n = a^n/b^n
For r = n+1 får vi da:
(a/b)^(n+1) =
[(a/b)^n]*(a/b) =
[a^n/b^n]*(a/b) =
a^(n+1)/b^(n+1)
idet vi benytter induktionsantagelsen ved andet lighedstegn. Så per induktion gælder (1) for r E N.
c) Tilfældet r E Z- (de negative hele tal) håndteres på helt tilsvarende vis, som under b), thi hvis r E Z-, så gælder, at -r E N, og
(a/b)^r = (b/a)^(-r)
a^r/b^r = b^(-r)/a^(-r)
Tillader man, at a = 0, så giver (1) stadigvæk mening, så længe r = 0 (med konventionen 0^0 = 1) eller r E N. Dette tilfælde er dog indlysende kedeligt. Mere interessant er r E Q eller endda r E R; disse tilfælde kan dog ikke håndteres som ovenfor, og man må ty til andre metoder, fx logaritmer.
//Singularity
Skriv et svar til: jeg fatter det ikke - mat
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.