Matematik
Find areal (integral)
Jeg har funktionerne f(x) = 2x - x2 og g(x) = -3. Funktionen f er en omvendt parabel og funktion g ligger under som et låg på parablen så der på den måde skabes et lukket areal. Parablen f skærer x-aksen i 0 og 2, mens den rette linje g ligger i y = -3. Jeg har selv fundet arealet til 38/3 = 12,67, men det ser ikke helt ud til at være tilfældet på figuren (kan I ikke se), jeg sidder med. Er der nogen med en bedre løsning. Jeg vil skyde på at lidt over 10 er den rigtige løsning.
Svar #1
28. marts 2012 af mathbj (Slettet)
Det kan godt være at jeg i stedet for at bruge skæringerne med x-aksen skal bruge skæringen med den rette linje g, men så bliver a og b i stedet -1 og 3 i stedet for 0 og 2. Kan nogen fortælle mig hvorfor jeg skal vælge dem frem for eller om man kan løse opgaven begge veje?
Svar #3
28. marts 2012 af Andersen11 (Slettet)
#1
Hvis du skal bestemme aralet mellem graferne for funktionen f(x) og g(x), er det jo ligningen f(x) = g(x) , der bestemmer integrationsgrænserne. Arealet er derfor
A = -1∫3 (f(x) - g(x)) dx = -1∫3 (-x2 +2x +3) dx
= -1∫3 (-(x -1)2 +4) dx
= 4·[x]3-1 - -1∫3 (x-1)2 dx
= 4·(3 -(-1)) - -2∫2 x2 dx
= 4·4 - [x3/3]2-2
= 16 - 2·23/3
= 32/3
Svar #4
28. marts 2012 af mathbj (Slettet)
I udtrykket 4·[x]3-1 - -1∫3(x-1)2dx synes jeg godt at kunne se hvordan 4 (i udtrykket over dette) bliver til 4x ved integration, men ikke se hvorfor det kun er parentesen så minus forsvinder i -(x-1)2 bliver til (x-1)2. For mig ser det ud som om at man behandler de to led på vidt forskellige måder for at komme til udtrykket her?
I næste led 4·(3 -(-1)) - -2∫2 x2 dx synes jeg igen godt at kunne se hvordan man sætter a og b ind i det integrerede led 4x (3 og -1), men så får leddet oven over -1∫3 (x-1)2 helt ud og erstattet af -2∫2 x2.
Det forstår jeg overhovedet ikke. Kan du forklare det nærmere?
Svar #5
28. marts 2012 af Andersen11 (Slettet)
#4
Minustegnet sættes uden for integralet (en konstant -1).
Der fortages jo en variabelsubstitution u = x-1 (hvor u så kaldes x igen), hvorfor grænserne ændres fra (-1 , 3) til (-2 , 2) for at gøre integrationen lidt simplere.
- -1∫3 (x-1)2 dx = - -1-1∫3-1 u2 du = - -2∫2 u2 du = - [ u3/3 ]2-2 = - ( 23/3 - (-2)3/3 ) = -2·23/3 = -16/3
der jo skal lægges til integralet
-1∫3 4 dx = 4 · [ x ]3-1 = 4 · (3 - (-1)) = 4 · 4 = 16
Parabelen er jo symmetrisk omkring sit toppunkt. Når man skal bestemme arealet af en figur afskåret af parabelen på en måde, der er symmetrisk omkring toppunktet, kan man jo lige så godt integrere i variable, der er baseret omkring toppunktet. Det er det, som substitutionen u = x-1 muliggør. Det ses jo også, at de to bidrag fra grænserne -2 og 2 er lige store, hvilket igen skyldes parabelens symmetri omkring sit toppunkt.
Skriv et svar til: Find areal (integral)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.