Matematik
Plan (tre punkter)
05. september 2005 af
e^(Pi*i)+1=0 (Slettet)
Jeg kender 3 punkter A(0,0,4), B(1,0,3) og C(1,5,0). Jeg skal finde planens ligning (på tegningen ses et parallelogram med A, B og C som tre af hjørnerne).
Når jeg skal finde _planens ligning_, er det så fint nok at finde en parameterfremstilling?
Jeg har fundet:
(x,y,z)=(x0,y0,z0)+s(bx-ax,by-ay,bz-az)+t(cx-bx,cy-by,cz-bz)
dvs.
(x,y,z)=(0,0,4)+s(1,0,-1)+t(0,5,-3)
Hvis ikke dette er godt nok, hvordan finder man så ligningen for en plan ud fra tre givne punkter?
Når jeg skal finde _planens ligning_, er det så fint nok at finde en parameterfremstilling?
Jeg har fundet:
(x,y,z)=(x0,y0,z0)+s(bx-ax,by-ay,bz-az)+t(cx-bx,cy-by,cz-bz)
dvs.
(x,y,z)=(0,0,4)+s(1,0,-1)+t(0,5,-3)
Hvis ikke dette er godt nok, hvordan finder man så ligningen for en plan ud fra tre givne punkter?
Svar #1
05. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Det er ikke tilstrækkeligt, hvis der udtrykkeligt spørges til en _ligning_ for planen. Derved forstås en ligning af formen;
ax + by + cz + d = 0 (*)
hvor a,b,c og d er konstanter; (a,b,c) er en _normalvektor_ for omtalte plan.
Punkterne A, B og C er indeholdt i planen, og vektorerne
AB = AO + OB = OB - OA = (1,0,-1)
AC = OC - OA = (1,5,-4)
som ligger i planen, er hverken nulvektoren eller parallelle (der findes ingen skalar s således, at AB = s*AC). Derfor vil vektorproduktet (krydsproduktet)
AB x AC
være en _normalvektor_ for planen. Dernæst kan man naturligvis vælge en vilkårlig anden vektor parallel med AB x AC som normalvektor; hvis dette gøres, er det sædvanligvis udelukkende af bekvemmelighedshensyn; for at opnå en relativt 'pæn' ligning i sidste ende.
Husk, at en normalvektor n = (a,b,c) til planen har den egenskab, at den er ortogonal på enhver egentlig vektor i planen. Sidstnævnte kan skrives
P'P = P'O + OP = OP - OP' = (x-x0, y-y0, z-z0)
for P = (x,y,z) og P' = (x0,y0,z0) et vilkårligt punkt hhv. et fast punkt i planen (P' er eksempelvis A, B eller C i opgaven). Vi har da, at
n*P'P = a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 (**)
per ortogonalitet af n og P'P. Men (**) kan skrives
ax + by + cz + d = 0
med d = -(a*x0 + b*y0 + c*z0) en konstant. Dermed haves netop en ligning for planen, jf. (*).
Jeg antager, at du nogenlunde kan følge den anviste procedure ovenfor og skal derfor undlade at resumere den i kort form.
//Epsilon
ax + by + cz + d = 0 (*)
hvor a,b,c og d er konstanter; (a,b,c) er en _normalvektor_ for omtalte plan.
Punkterne A, B og C er indeholdt i planen, og vektorerne
AB = AO + OB = OB - OA = (1,0,-1)
AC = OC - OA = (1,5,-4)
som ligger i planen, er hverken nulvektoren eller parallelle (der findes ingen skalar s således, at AB = s*AC). Derfor vil vektorproduktet (krydsproduktet)
AB x AC
være en _normalvektor_ for planen. Dernæst kan man naturligvis vælge en vilkårlig anden vektor parallel med AB x AC som normalvektor; hvis dette gøres, er det sædvanligvis udelukkende af bekvemmelighedshensyn; for at opnå en relativt 'pæn' ligning i sidste ende.
Husk, at en normalvektor n = (a,b,c) til planen har den egenskab, at den er ortogonal på enhver egentlig vektor i planen. Sidstnævnte kan skrives
P'P = P'O + OP = OP - OP' = (x-x0, y-y0, z-z0)
for P = (x,y,z) og P' = (x0,y0,z0) et vilkårligt punkt hhv. et fast punkt i planen (P' er eksempelvis A, B eller C i opgaven). Vi har da, at
n*P'P = a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 (**)
per ortogonalitet af n og P'P. Men (**) kan skrives
ax + by + cz + d = 0
med d = -(a*x0 + b*y0 + c*z0) en konstant. Dermed haves netop en ligning for planen, jf. (*).
Jeg antager, at du nogenlunde kan følge den anviste procedure ovenfor og skal derfor undlade at resumere den i kort form.
//Epsilon
Skriv et svar til: Plan (tre punkter)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.