Matematik

Eksponentiel funktion afbildet som titalslogaritme

01. juni 2024 af Svenninator - Niveau: C-niveau

En HTX-klasse har i biologi undersøgt, hvordan en bestemt bakteriekultur vokser. Én gruppe fra klassen har til en række tidspunkter optalt antallet af bakterier i bakteriekulturen. Derefter har de afbildet titalslogaritmen af bakterieantallet som funktion af tiden og finder, at afbildningen med ret god tilnærmelse er en ret linje.

a) Hvilken type funktion kan derfor beskrive, hvorledes bakteriekulturen vokser? Begrund svaret gennem forklarende tekst og en matematisk udledning, hvor logaritmeregnereglerne benyttes.

Min forståelse er at biologi-gruppen har afbildet følgende funktion: f(t) = log(b ⋅ a^x). Dette giver en lineær afbilding. Opgaven vil gerne have mig til at angive typen af funktion som beskriver hvordan bakteriekulturen, men gør den funktion som biologi-gruppen har lavet ikke allerede det?

Svaret som min lærer leder efter er jo nok "En eksponentiel funktion forklarer bakteriekulturens vækst" men hvordan skal jeg begrunde dette svar ift. den lineære afbildning fra opgavebeskrivelsen? Er det overhovedet muligt at omskrive:

f(t) = log(b ⋅ a^x)

til:

f(t) = b ⋅ a^x

Jeg tror jeg har svært ved at se sammenhængen mellem de to funktioner og kan derfor ikke rigtig danne overblik over opgaven, alt hjælp er værdsat.

Brugbart svar (1)

Svar #1
01. juni 2024 af Anders521

#0 Hvis det er sådan, at afbildningen er en ret linje som følge af at have taget titalslogaritmen til antallet af bakterier y med x som tiden, må man nok have sammenhængen log₁₀(y) = log₁₀(a)·x + log₁₀(b). Her vil ethvert punkt (x, log₁₀(y)) på et koordinatsystem ligge på en ret linje. Tager man 10^x på antallet af bakterier vil man få y = b·a^x, hvor x ≥ 0.

Svar #2
01. juni 2024 af Svenninator

Men ligepræcis her opstår min forvirring

Afbildningen af ligningen som du skriver, altså:

log₁₀(y) = log₁₀(a)·x + log₁₀(b)

Er ikke en ret linje.

Jeg ville tro at dette sker fordi du tager titalslogaritmen på begge sider af funktionen og dermed skaber du en funktion som er ensbetydende med en normal eksponentiel funktion. Hvis du derimod kun tager titalslogaritmen på højresiden af funktionen får du en funktion som beskriver bakteriekulturens vækst men hvor y-aksen har fået en ny enhed så at sige.

Den følgende funktion er en ret linje:

y = log₁₀(a)·x + log₁₀(b)

Men fra denne funktion forstår jeg ikke hvordan man omskriver til en traditionel eksponentiel funktion. Det er helt klart muligt, at det du skriver er den korrekte løsning men jeg forstår ikke hvorfor.

Brugbart svar (1)

Svar #3
01. juni 2024 af ringstedLC

Brug disse logaritmeregneregler:

$\begin{align*} y &= \log(x) \Leftrightarrow x=10^{y} && \textup{formel (76), STX C}\\ \log\bigl(a\cdot b\bigr) &= \log(a)+\log(b) &&\textup{formel (78), STX C} \\\log(a^r) &= r\cdot \log(a) &&\textup{formel (80), STX C} \end{align*}$

på klassens afbildning af grafen for

$\begin{align*} N(t)=\log\bigl(f(t)\bigr) &= \log(a)\cdot t+\log(b) \\ &= \log(a^t)+\log(b) &&\textup{formel (80)} \\ &= \log\bigl( a^t\cdot b\bigr) &&\textup{formel (78)} \\ 10^{\log\bigl(f(t)\bigr)} &= a^t\cdot b &&\textup{formel (76)} \\ f(t) &= b\cdot a^t &&\textup{igen; formel (76)} \end{align*}$ :

Svar #4
01. juni 2024 af Svenninator

Mange tak for hjælpen Anders og ringstedLC, jeg kan nu se sammenhænget mellem funktionerne og hvordan man komme fra den ene til den anden.

Spørgsmålet er blevet besvaret og der er ikke brug for yderligere hjælp.

Skriv et svar til: Eksponentiel funktion afbildet som titalslogaritme

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.