kinetisk energi i forskellige koordinater

For mig ser det ud til at T er Lagrange funktionen for et mekanisk system.  Lagrange funktionen indeholder generelle variable q_i og de tidsafledede af disse variable betegnet med q_i med en prik over. I denne forbindelse betragtes qi og de tidsafledede af dem som uafhængig, så det giver ingen mening at tale om at de tidsafledede er afhængig af q_i'erne

T er den kinetiske energi for systemet. Det er ganske vist Lagrange-mekanik men det her er starten af bogen, og lagrangian er ikke udledt endnu. 
Men du kan stadig forklare mig, hvorfor betragtes qi og deres tidafledte som uafhængige? 
Man udleder Lagrangefunktionen ved at kigge på virtuelle arbejder, dvs. at den totale sum af arbejdet i system er 0 ved en infinitisimal forskydning. Er det derfor man ikke rigtig kan snakke om et bånd mellem q og q'? Fordi lagrangeformalismen betragter et system, hvor der ikke laves noget arbejde?

I det jeg har set starter man med helt abstrakt at definerer lagrangefunktionen uden at sige noget om betydningen af de forskellige variable. Derefter udleder man hvordan den skal se ud for fysiske systemer for at det skal give noget fornuftigt. Man starter med frie partikler og galileitransformationen. Det giver så den normale kinetiske energi. Derefter går man så videre til når der er andre kræfter i spil. Man kan kun konstatere at man ved denne form for beskrivelse kommer frem til noget fornuftigt. Det er allerede helt fra starten lagt fast at q_i'erne og deres afledede er uafhængige.

#0: q_i'erne vælges som såkaldte generaliserede koordinator, der er uafhængige af hinanden. Det er sådan Hamilton- og Lagrange mekanikken er bygget op. Disse generaliserede koordinater beskriver et systems tilstand til enhver tid efterfølgende, og tricket i brugen af denne form for mekanik er netop at identificere de koordinater, der kan benyttes som generaliserede koordinater.

I kartesiske koordinater er T givet som T = ½m(dot(q_i))^2, der netop ikke eksplicit afhænger af q_i. Da du skal benytte dig af den partielt afledede i forhold til q_i, og T ikke eksplicit afhænger af q_i, vil denne differentiation give nul. Om der er tale om en implicit afhængighed eller ej, er som sådan ligegyldigt, da du tager den partielt afledede.