Matematik

hjælp søges til MATH ()!()

16. september 2005 af Christina2004 (Slettet)

Opgave 1)
En differentialligning er bestemt ved:

y`-y = 2*e^x (*)
gør rede for at enhver af funktionerne

f_c(x)=c*e^(-x) + e^(x)
hvor c er at tal, er løsningen til differentialligningen (*).

For en bestemt værdi af c går grafen for f_c gennem punktet P(-2 ; 15)
Beregn denne værdi af c.
Nogle løsninger til differentialligningen (*) er voksende funktioner.
Bestem de værdier af c, for hvilke f_c er en voksende funktion:

Løsning:

Jeg har gjort rede for f_c er løsningen til differentialligningen (*)

Har fundet c (fik det til 2,012)

Men det sidste kan jeg ikke helt forstå:
Jeg går ud fra at man skal bruge f `_c(x) = -c * e^(-x) + e^(x)
Og så finde ud af på en eller anden måde de c værdier for hvilke f_ c er en viksende funktion:
Men har ingen anelse hvordan jeg kan finde ud af det:

Opgave 2)
Når et varmt metalstykke anbringes i koldere omgivelser, afkøles det. I det følgende antages det at omgivelsernes temperatur er konstant.
Metalstykkets temperatur y, målt i C er en funktion af tiden t, målt i sekunder. Under passende forudsætninger sker afkølingen på en sådan måde, at den hastighed, hvormed metalstykkets temperatur aftager er proportional med forskellen mellem metalstykkets temperatur y og omgivelsernes temperatur y0. proportionalitetsfaktoren k aftager af metalstykkets art.

Opskriv en differentialligning der beskriver hvorledes metalstykkets temperatur ændrer sig under afkølingen.

Et metalstykke hvis temperatur er 100C anbringes i omgivelserne hvis temperatur y0 er 20 C. Efter 30 sekunder er metalstykkets temperatur faldet til 95C.

Beregn proporionalitetsfaktoren k for dette metalstykke.

Hvor længe varer det før metalstykkets temperatur er faldet til 40C.

Løsning:

Ud fra det som står i teksten kan vi opstille følgende differentialligning.
dy/dt= k * (y-y0)

så har jeg ingen ide om hvordan jeg kan finde k:
altså ved ikke hvilken formel jeg skal bruge:
jeg ved at (t , y) = (30 ; 95)

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. september 2005 af Epsilon (Slettet)

ad 1)
Først og fremmest skal differentialligningen være skrevet korrekt op. Jeg formoder, at der er tale om

y' + y = 2*e^(x) (*)

thi løsninger hertil er enhver af funktionerne

f_c(x) = c*e^(-x) + e^(x)

for en vilkårlig reel konstant, c.

Den værdi af c, som modsvarer netop den funktion f_c, hvis graf indeholder punktet P(-2,15), er

c = (15 - e^(-2))*e^(-2)

eksakt (approksimativt 2,012 som du skriver). I opgaver som denne, hvor differentialligningen ikke fungerer i modelleringshenseende, vil man normalt tilstræbe at regne eksakt. Måske kan den approksimative c-værdi godtages, men angiv hellere den eksakte for en sikkerheds skyld. Bemærk i øvrigt, at der ønskes en _beregning_ af c (formel ligningsløsning, forstås).

" Bestem de værdier af c, for hvilke f_c er en voksende funktion "

Brug differentialligningen! Den er der for det samme. Hvad skal gælde, hvis f_c skal være voksende?

ad 2)
Differentialligningen

dy/dt = k*(y-y0) **)

er en lineær differentialligning af første orden i y; en let omskrivning giver, at

dy/dt = (-k*y0) + k*y

Opslag i formelsamling eller separation af variable kan benyttes til at opskrive den generelle løsning. Vis eventuelt selv, at denne er

y(t) = y0 + c*exp(k*t) = y0 + (y'-y0)*exp(k*t)

hvor c = y'-y0 er en reel konstant og y' metallets initialtemperatur y(0). Eftersom du har kendskab til punktet (30,95), kan k fastlægges entydigt.

Resten af opgaven bør ikke volde besvær.

**) I parentes bemærket er dette Newtons afkølingslov opskrevet på differentiel form.

//Epsilon

Svar #2
17. september 2005 af Christina2004 (Slettet)

Ang. 1)

Jeg har ingen ide om hvordan man kan vise at f_c er en voksende funktion for nogle bestemte værdier af c:

Ang. 2)

Så har vi differentialligningen til at være:

dy/dt = k*(y-y0)

Ved at skrive lidt om på udtrykket fås:

dy/dt = (-k*y0) + k*y

separation af variable

S[1/g(y)]*dy = S[h(x)]*dx + c

Hvad skal være hvad altså hvad skal man sætte g(y) og h/x) til at være:

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#2:

ad 1)
Hvis f_c skal være voksende, må vi have

f_c'(x) >= 0

Et udtryk for f_c' kan enten bestemmes ud fra f_c eller ved at bruge differentialligningen.

ad 2)
Nu skrev jeg ganske vist denne form:

dy/dt = (-k*y0) + k*y

for at du måske kunne genkende den som en lineær 1.ordens differentialligning;

dy/dt = b - a*y

for passende konstanter, a og b, med henblik på opslag i en formelsamling. Men lad det nu ligge; det er udmærket, hvis du vil separere variable. Gør det ud fra den oprindelige differentialligning;

dy/dt = k*(y-y0)

Det er lettere.

Vink: g(y) = y-y0, h(x) = k.

//Epsilon

Svar #4
18. september 2005 af Christina2004 (Slettet)

Ang.1)

f_c(x)=c*e^(-x) + e^(x)

f`_c(x)=-c*e^(-x)+e^(x)

Hvis f_c skal være voksende, må vi have f_c'(x) >= 0
-c*exp(-x)+exp(x) >= 0
-c*exp(-x)>=-exp(x)
-c>= -exp(x) / exp(-x)
-c>= -exp(2x)
c>= exp(2x)

Ang. 2)

ud fra det som står i teksten kan vi opstille følgende differentiallining:

dy/dt = k*(y-y0)

separation af variable:

g(y) = y-y0, h(x) = k

S[1/g(y)]*dy = S[h(x)]*dx + c

ln(y-y0)=k * x + c

så ved jeg at (x,y)=(30,95) og y0=20 men så har jeg 2 ubekendte k og c:

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#4:

ad 1)
Hvad skal man huske, når man multiplicerer igennem med et negativt tal i en ulighed? ;-)

ad 2)
Husk numerisktegn ved angivelse af en stamfunktion til 1/(y-y0). Du er sikkert klar over, at y > y0 i opgaven, så i dette tilfælde er det problemfrit at udelade numerisktegnet. Men nævn det i så fald i besvarelsen, inden du skriver ln(y-y0). Nuvel, here goes:

ln|y-y0| = k*t + c

så eksponentierer vi begge sider:

y - y0 = ± exp(k*t + c) = C'*exp(k*t)

for en ikke-nul konstant C' = ± e^c. Dermed haves

y(t) = y0 + C'*exp(k*t)

Vi ved, at y(0) = 100 (metallets initialtemperatur). Brug dette til at finde et udtryk for C'. Dernæst kan k fastlægges ud fra punktet (30,95).

//Epsilon

Svar #6
18. september 2005 af Christina2004 (Slettet)

Ups:
Hvis f_c skal være voksende, må vi have f_c'(x) >= 0
-c*exp(-x)+exp(x) >= 0
-c*exp(-x)>=-exp(x)
-c>= -exp(x) / exp(-x)
-c>= -exp(2x)
c=

glemte at vede tegnet om!!!

opgave 2)

hvordan kommer du frem til at:
y - y0 = ± exp(k*t + c) = C'*exp(k*t)
altså det sidste hvor du sætter C`uden for parnteset

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#6:

ad 1)
Korrekt. Hvad kan derfor konkluderes om c?

ad 2)
Ifølge én af potensregnereglerne haves:

exp(k*t + c) = exp(k*t)*exp(c)

og dermed

± exp(k*t + c) = C'*exp(k*t)

idet vi sætter C' = ± exp(c). Pointen er, at konstanten C' er lettere at håndtere efterfølgende end konstanten c; sidstnævnte indgår jo eksponentielt.

//Epsilon

Svar #8
18. september 2005 af Christina2004 (Slettet)

ad 1)
at funktionen f_c er voksende for c=

ad 2)

nu er jeg med

fik
c=ln(80)

k=(-1/30)*ln(80)+(1/30)*ln(75)

det tager 644,403 sekuner for metalstykket at blive afkølet til 40 grader celsius

Svar #9
18. september 2005 af Christina2004 (Slettet)

passer det nu

Brugbart svar (0)

Svar #10
18. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#8:

ad 1)
Altså må vi have c =

ad 2)
c = ln(80) er korrekt; meningen var nu egentlig, at du ikke skulle beregne c, men C' (det er lidt lettere). Vi har

y(t) = y0 + C'*exp(k*t)

Da y(0) = 100, haves C' = 100 - y0 = 80 og dermed

y(t) = 20 + 80*exp(k*t)

Resten er vi enige om.

//Epsilon

Svar #11
19. september 2005 af Christina2004 (Slettet)

ad 1)
Altså må vi have c =
hvordan kom du frem til at c=

jeg fik
Hvis f_c skal være voksende, må vi have f_c'(x) >= 0
-c*exp(-x)+exp(x) >= 0
-c*exp(-x)>=-exp(x)
-c>= -exp(x) / exp(-x)
-c>= -exp(2x)
c=

Svar #12
19. september 2005 af Christina2004 (Slettet)

Svar #13
19. september 2005 af Christina2004 (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #14
19. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#11:
Vi har, at f_c er voksende præcis, hvis

c =

Eftersom exp(2x) > 0 for alle x, kan dette kun være opfyldt, hvis

c =

For en mere udførlig kommentar, se i øvrigt denne tråd:

https://www.studieportalen.dk/forum/viewtopic.php?t=125259

(##15-17)

//Epsilon

Svar #15
20. september 2005 af Christina2004 (Slettet)

At det noget i den retning man skal skrive:

Vi ved at
C=
og ud fra det kan vi se at c= 0 for alle x. og dermed kan den ulighed vi har fundet kun være opfyldt for alle x hvis c =

Skriv et svar til: hjælp søges til MATH ()!()

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.

Matematik

hjælp søges til MATH (*)!(*)

Skriv et svar til: hjælp søges til MATH (*)!(*)

hjælp søges til MATH ()!()

Skriv et svar til: hjælp søges til MATH ()!()