Matematik
rumfang i integralregning
Jeg lidt problemer med at finde den korrekte formel til at finde rumfanget til nedenstående opgave: (opg. 3042 i eksamensopgaver 1-årigt a niveau)
f(x)= sqr(9-(9/25)x^2)
Beregn den eksakte værdi af rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når den skraverede punktmængde drejes 360 grader omkring førsteaksen.
Jeg har fundet skræringspunkter med x-aksen til at være: -5 og 5
Mit problem er som sagt, at jeg er usikker på hvilken formel jeg skal bruge. Vi har lært 4 forskellige:
kugleformel: V= Pi*(4/3)*r^3
kegleformel: V= (1/3)*pi*r^2*h
b
cylender --: V= pi*S(f(x))^2 dx
a
b
Cykelslangeformel:V=S(f(x))^2-(g(x))^2 dx
a
Det kan jo ik være kugleformel, da "r" ikke er 5 på alle sider.. Men hvilken det så skulle være, kan jeg ikke rigtig se... måske cykelslangeformlen?
Håber nogle vil svare hurtigt, selvom det er lidt tidligt om morgenen, for en søndag.
På forhånd tak :-)
Svar #1
18. september 2005 af celgrun (Slettet)
Svar #2
18. september 2005 af fixer (Slettet)
En ikke-stringent forklaring følger:
Udse dig et vilkårligt x på førsteaksen indenfor det skraverede område. Funktionsværdien i dette punkt er f(x). Vi betragter nu en uendeligt lille omegn om x, dvs et interval [x-dx/2;x+dx/2] hvori x ligger midti. Du kan prøve at tegne det på en figur. Du vil se, der dannes en smal strimmel begrænset af funktionsværdierne i dette interval. Vi tilnærmer (=approksimerer) nu denne strimmel med et rektangel der har bredde n dx og højden f(x) (=funktionsværdien i midten af x-intrevallet).
Forestil dig nu at dette rektangel roteres om førsteaksen. Hvilken form fremkommer så ? Det må være en tynd skive (=cylinder). Rumfanget af sådan en krabat er jo tværsnittets areal ganget med højden. Højden er i vores tilfælde dx. Tværsnittets areal er jo arealet af grundcirklen i cylinderen. Det er pi*f(x)^2, fordi f(x) under rotationen jo optræder som radius i cylinderen.
Så voluminet af vores uendeligt lille skive er altså (pi*f(x)^2)*dx. Ved nu at summere alle disse uendeligt tynde skiver henover hele det x-interval du er interesseret i, fremkommer et integral af typen
b
pi*S[f(x)^2]dx
a
hvor a og b er x-værdierne der fastlægger endepunkterne.
Svar #3
18. september 2005 af celgrun (Slettet)
Svar #5
18. september 2005 af fixer (Slettet)
b
S[pi*(f(x))^2]dx
a
=
b
S[pi*(9-9/25*x^2)]dx
a
?
Det er blot et polynomium så det skulle være lige til at gå til uden substitutioner.
Kan det tænkes du har glemt at kvadrere f :-) ?
Svar #6
18. september 2005 af celgrun (Slettet)
Svar #7
18. september 2005 af celgrun (Slettet)
Svar #8
18. september 2005 af fixer (Slettet)
Skriv et svar til: rumfang i integralregning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.